\(\displaystyle{ x=Rcos^{3}t}\) , \(\displaystyle{ y=Rsin^{3}t}\) \(\displaystyle{ R>0}\) , \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2 \pi}\)
Mi wychodzi 0 , a w odpowiedziach jest 6R ;/
Oblicz długośc łuku asteroidy
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Oblicz długośc łuku asteroidy
L=\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{3}{2} R \left| \sin{2x}\right|}\)
Po obliczeniu ze wzoru
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}{ \sqrt{ \left( \partial x\right)^2+ \left( \partial y\right)^2 } }}\)
Musisz rozbić całkę na cztery całki narysować wykres i
w odpowiednich miejscach zmienić znak przed całką
\(\displaystyle{ dx=-3R\cos^2{t}\sin{t}}\)
\(\displaystyle{ dy=3R\sin^2{t}\cos{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dy^2=9R^2\sin^4{t}\cos^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}+9\sin^4{t}\cos^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t} \left( sin^2{t}+cos^2{t}\right)}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2= \frac{9}{4}R^2 \sin^2{2t}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{dx^2+dy^2}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{-3}{4}R \left(cos{2t}|_{0}^{ \frac{\pi}{2} }- cos{2t}|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} +cos{2t}|_{\pi}^{ \frac{3\pi}{2} }-cos{2t}|_{ \frac{3\pi}{2} }^{ 2\pi }\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -2 - 2 - 2 -2 \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -8 \right)}\)
\(\displaystyle{ {-3}R \left( -2 \right)}\)
\(\displaystyle{ {6}R}\)
Dlaczego tak rozbiłem ponieważ w funkcji podcałkowej jest moduł
Rysujemy sinusoidę w przedziale
\(\displaystyle{ [0;4\pi]}\)
i jeżeli
\(\displaystyle{ \sin{2t}<0}\)
to zmieniamy znak przed całką
Po obliczeniu ze wzoru
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}{ \sqrt{ \left( \partial x\right)^2+ \left( \partial y\right)^2 } }}\)
Musisz rozbić całkę na cztery całki narysować wykres i
w odpowiednich miejscach zmienić znak przed całką
\(\displaystyle{ dx=-3R\cos^2{t}\sin{t}}\)
\(\displaystyle{ dy=3R\sin^2{t}\cos{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dy^2=9R^2\sin^4{t}\cos^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}+9\sin^4{t}\cos^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t} \left( sin^2{t}+cos^2{t}\right)}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t}}\)
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2= \frac{9}{4}R^2 \sin^2{2t}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{dx^2+dy^2}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{-3}{4}R \left(cos{2t}|_{0}^{ \frac{\pi}{2} }- cos{2t}|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} +cos{2t}|_{\pi}^{ \frac{3\pi}{2} }-cos{2t}|_{ \frac{3\pi}{2} }^{ 2\pi }\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -2 - 2 - 2 -2 \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -8 \right)}\)
\(\displaystyle{ {-3}R \left( -2 \right)}\)
\(\displaystyle{ {6}R}\)
Dlaczego tak rozbiłem ponieważ w funkcji podcałkowej jest moduł
Rysujemy sinusoidę w przedziale
\(\displaystyle{ [0;4\pi]}\)
i jeżeli
\(\displaystyle{ \sin{2t}<0}\)
to zmieniamy znak przed całką
-
wojtek6214
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz