Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągów:

1)

\(\displaystyle{ {\frac{ {n \choose k} }{n^k}}}\)

2)

\(\displaystyle{ \frac{ E(x) +E(2x)+...+E(nx)}{n^2}}\)

Co do a). \(\displaystyle{ {n \choose k}=n(n-1)\ldots(n-k+1)}\) oraz \(\displaystyle{ \, n^{k}}\) to wielomiany zmiennej \(\displaystyle{ n}\) stopnia \(\displaystyle{ k}\), o współczynniku \(\displaystyle{ 1}\) przy najwyższej potędze.
Granica jest równa \(\displaystyle{ 1}\)

EDIT: Racja, zgubiłem \(\displaystyle{ k!}\) w mianowniku, granica jest \(\displaystyle{ \frac{1}{k!}}\).

Punkt drugi był zrobiony i to nawet przeze mnie. Poszukaj na forum

Jeden? Przecież nie znamy \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{{n \choose k}}{n^k}=\lim_{ n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!n^k}=\lim_{ n \to \infty}\frac{n^k+c_1n^{k-1}+c_2n^{k-2}+\ldots}{k!n^k}=\frac{1+0+0+\ldots}{k!}=\frac{1}{k!}}\)

Z pierwszą się już uporałem. Wynosi ona 1/k!, a nie 1.

Co do drugiej znalazłem w Twoich postach, fajna metoda.