Matematyka.pl

\(\displaystyle{ p ^{q}-q ^{p}=1 \Leftrightarrow p ^{q}=1+q ^{p}}\)
Stąd wynika że jedna z liczb musi być parzysta, a skoro też pierwsza to musi być równa \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ 1^{o}}\)
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ 2^{q}=q^{2}+1}\)

Tu nie miałem pomysłu jak pokazać, że nie ma takich liczb pierwszych \(\displaystyle{ q}\) spełniających to równanie, ale spróbowałem zastosować to, że kwadrat liczby naturalnej przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) daje resztę \(\displaystyle{ 0}\),\(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 4}\).

\(\displaystyle{ q^{2}=2^{q}-1}\)

Czyli, że:

\(\displaystyle{ 2^{q} \equiv1(mod5) \vee 2^{q} \equiv 2(mod5) \vee 2^{q} \equiv 0(mod5)}\)

Ostatnie odpada, bo \(\displaystyle{ 2^{q}}\) nigdy nie będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), bo w rozkładzie na czynniki pierwsze ma same dwójki.

A wiadomo też, że:

\(\displaystyle{ 2^{4k+1} \equiv 2(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k+2} \equiv 4(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k+3} \equiv 3(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 2^{4k} \equiv 1(mod5)}\)

Więc mamy, że:
\(\displaystyle{ q=4k \vee q=4k+1}\)

Pierwsze oczywiście odpada, a co do drugiego nie wiem jak zrobić (chyba, że podstawienie kilku początkowych liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) i zauważenie, że wartość jednej strony równania rośnie o wiele szybciej niż druga, wraz ze wzrostem wartości \(\displaystyle{ q}\) wystarczy )

\(\displaystyle{ 2^{o}}\)

\(\displaystyle{ q=2}\)

W tym przypadku analogicznie do pierwszego z tym, że otrzymamy, że \(\displaystyle{ p=4k+3}\) i jedynym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ k=0 \Rightarrow p=3}\), a dla większych \(\displaystyle{ k}\) potrafię "pokazać" nieprawdziwość równania tylko w sposób jak w końcówce pierwszego przypadku :/

Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (p,q)=(3,2)}\)

Jak już masz to, że jedna jest parzysta, to dalej inukcyjnie pokazac, że
\(\displaystyle{ 2^q}\) jest duużo większe od pewnego momentu (od q=5 na oko ;d)