Tw. Cauchy'ego/Lagrange'a o wartości średniej
: 29 sty 2009, o 14:26
Twierdzenie Cauchy'ego
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) są ciągłe w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), różniczkowalne w \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ g'(x)\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (a,b)}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\) taki, że:
Dowód: Utwórzmy funkcję
Stąd \(\displaystyle{ \exists c\in(a,b):\; h'(c)=0\: (*)}\). Różniczkując otrzymujemy:
zatem podstawiając \(\displaystyle{ x:=c}\) i korzystając z \(\displaystyle{ (*)}\)
Twierdzenie Lagrange'a
Twierdzenie Lagrange'a jest szczególnym przypadkiem Twierdzenia Cauchy'ego dla \(\displaystyle{ g(x)=x}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) i różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a,b)}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\) taki, że:
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) są ciągłe w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), różniczkowalne w \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ g'(x)\neq 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (a,b)}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}\)
Dowód: Utwórzmy funkcję
\(\displaystyle{ h(x):=f(b)-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(b))}\)
\(\displaystyle{ h}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ [a,b]}\), różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ h(a)=0=h(b)}\). Zatem \(\displaystyle{ h}\) spełnia założenia Twierdzenia Rolle'a. Stąd \(\displaystyle{ \exists c\in(a,b):\; h'(c)=0\: (*)}\). Różniczkując otrzymujemy:
\(\displaystyle{ h'(x)=-f'(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)}\)
zatem podstawiając \(\displaystyle{ x:=c}\) i korzystając z \(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ h'(c)=0=-f'(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)}\)
\(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}\)
Q.E.D.Twierdzenie Lagrange'a
Twierdzenie Lagrange'a jest szczególnym przypadkiem Twierdzenia Cauchy'ego dla \(\displaystyle{ g(x)=x}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) i różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a,b)}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)}\)
Twierdzenia te stosuje się np. do udowodnienia Reguły de l'Hospitala, związków między monotonicznością a pochodną funkcji czy też wielu nierówności (oczywiście to nie wszystkie zastosowania).