Matematyka.pl

witam. jak moge udowodnic, ze wartość wielomianu \(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x}\),
dla każdej liczby całkowitej jest liczbą podzielną przez 120?
rozłożyłem wielomian na czynniki, ale nic mi to nie mówi.

\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)=x(x^2-4)(x^2-1)=\\=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
=(x-2) \cdot (x-1) \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2)}\)

Jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb
\(\displaystyle{ 120=3 \cdot 5 \cdot 8}\)

Żeby liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 120}\) musi dzielić się przez \(\displaystyle{ 3, 5}\) i \(\displaystyle{ 8}\)

Ta liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), bo przynajmniej jeden czynnik dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\)
Liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), bo przynajmniej jeden czynnik dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\)

Liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\), bo przynajmniej jeden czynnik dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\), i przynajmniej jeden oprócz tego dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)

Dowód jest błędny, ponieważ takie istnieją liczby całkowite,
dla których wartość wielomianu nie jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 120}\).
Przykładowo:
\(\displaystyle{ W(74) = -2077986496}\) podzielone przez \(\displaystyle{ 120}\) daje resztę równą \(\displaystyle{ -16}\)
\(\displaystyle{ W(85) = 139015544}\) podzielone przez \(\displaystyle{ 120}\) daje resztę równą \(\displaystyle{ 104}\)

rysmus48@gmail.com

rysmus48, zle liczysz albo spamujesz.

\(\displaystyle{ W(74)=2216980800, W(85)=4433982840}\)


Maila po co podales?

problemowiec pisze:dla każdej liczby całkowitej

Na pewno dobrze przepisałeś polecenie? Dla każdej na pewno nie jest. Na przykład \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).

dla zero to jest zero, więc jest podzielne

Dla jedynki to samo

rysmus48, zle liczysz albo spamujesz.

Może i dobrze liczy, ale nie zna ograniczeń swojego kalkulatora...

Przyznaję się do pomyłki.
Źle obliczyłem wartości wielomianu.