Matematyka.pl

Czy przekształcenie \(\displaystyle{ f}\) określone na \(\displaystyle{ [0,2]}\) z topologią na indukowaną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) prowadzące w strzałkę dane wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x, \ x\in [0,1] \\ x+1,\ x \in (1,2]\end{cases}}\)

jest ciągłe?

Nie jest, zbiór \(\displaystyle{ U = [\frac{1}{2}, 1)}\) jest otwarty w topologii strzałki, nie jest otwarty w topologii indukowanej z topologii naturalnej na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}(U) = U,}\) czyli jest to zbiór otwarty, którego przeciwobraz nie jest otwarty, a gdyby \(\displaystyle{ f}\) było ciągłe, to taki zbiór nie mógłby istnieć.