Matematyka.pl

wyznacz wszystkie całkowite wartości k, dla których funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{k-2}{k-4} x^2 - (k-2)x +k-4}\) osiąga najmniejszą wartośc i ma co najwyżej jedno miejsce zerowe.

Funkcja kwadratowa posiada najmniejszą wartość gdy ramiona paraboli skierowane są w góre, czyli współczynnik przy największej potedze jest dodatni. Funkcja może mieć poza tym tylko jeden pierwiastek, czyli delta musi być równa zeru. Muszą być zatem spełnione nastepujące warunki::

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{k-2}{k-4} > 0 \\ [-(k-2)]^2 - 4 \cdot \frac{k-2}{k-4} \cdot (k-4) \le 0 \end{cases}}\)

chyba ramiona skierowane w górę, a współczynnik przy\(\displaystyle{ x^2}\)- dodatni

osiaga najmniejszą wartość gdy ramiona paraboli są skierowane w górę, czyli :
\(\displaystyle{ \frac{k-2}{k-4}>0\\
(k-2)(k-4)>0\\
k_1=2\\
k_2=4\\
k\in (-\infty,2)\cup (4,\infty)}\)
ma co najwyżej jedno miejsce zerowe czyli :
\(\displaystyle{ \Delta \le 0\\
\Delta=(k-2)^2-4\cdot \frac{k-2}{k-4}\cdot (k-4)=
k^2-4k+4 -4(k-2)=k^2-4k+4-4k+8=k^2-8k+12\\
k^2-8k+12 \le 0\\
\Delta_k=16 \\
\sqrt{\Delta_k}=4\\
k_1=2\\
k_2=6\\
k\in }\)
ostatecznie ;
\(\displaystyle{ k\in (4,6\rangle}\)
\(\displaystyle{ k=5}\) lub \(\displaystyle{ k=6}\)

A dlaczego nie \(\displaystyle{ k=2}\), funkcja wtedy ma postać \(\displaystyle{ f(x)=-2}\) - f. stała i najmniejszą jak i jednocześnie najwiekszą wartością funkcji jest \(\displaystyle{ -2}\)

gdy k=2
funkcja ta ma postać :
\(\displaystyle{ f(x)=-2}\)
a taka funkcja nie ma najmniejszej wartości

Czy na pewno funkcja stała nie przyjmuje wartości maksymalnej w całej swojej dziedzinie?

Funkcja stała oczywiście przyjmuje zarówno najmniejszą, jak i największą wartość w każdym punkcie dziedziny.

No to wychodzi, że do zbioru rozwiązań powinno się jednak dołączyć dwójkę. Odpowiedzi jej nie uwzględniają.

VanHezz pisze: 10 paź 2021, o 19:01 No to wychodzi, że do zbioru rozwiązań powinno się jednak dołączyć dwójkę.

Zgadza się.

JK