Konkurs matematyczny Politechniki Warszawskiej.

[Errichto]

Pierwsze było dosyć... dziwne. Ten wielomian (przy \(\displaystyle{ x}\) mniejszym od czegoś tam) musiał być l. wymierną, którą da się zapisać jako ułamek nieskracalny z parzystym licznikiem i jak to porządnie zapisać? A jak to zapisać dla \(\displaystyle{ x}\)? Tzn. jaki warunek musi w takim razie spełniać \(\displaystyle{ x}\)?
2. i 3. bardzo łatwe, ale z jakiegoś powodu dużo czasu poszło. W 4. nie udowodniłem, że większe od 8. Piąte nic.
Ogólnie okazało się, że cienias jestem - nawet 4 zadań pełnych nie mam. Może za rok pójdzie lepiej...

[przemon]

Sylwek, proszę, czy mógłbyś się zainteresować zadaniem czwartym

[Sylwek]

Nic w nim nie ma interesującego - po prostu dużo liczenia. A po drugie czemu wybrałeś mnie?

[prox]

Ja w 4 zamieniałem wszystko na funkcję \(\displaystyle{ tgx}\). \(\displaystyle{ x_{0}}\) wychodziło \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\), więc \(\displaystyle{ x \in(0;\frac{\pi}{4})}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ tgx=t}\). Wtedy: \(\displaystyle{ sinxcosx=\frac {t}{t^{2}+1}, sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}, ctgx = \frac{1}{t}}\). Po podstawieniach, wymnożeniu przez mianownik i przeniesieniu na jedną stronę otrzymujemy do udowodnienia nierówność: \(\displaystyle{ 8t^{3}-7t^{2}+1>0}\) , dla \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\). Możemy to zrobić korzystając z nierówności Cauchy'ego: \(\displaystyle{ 4t^{3}+4t^{3}+1 \geqslant 6 \sqrt[3]{2}t^{2}>7t^{2}}\). Nierówność ta zachodzi równość dla tego przedziału, który był poniżej, ponieważ ten logarytm był większy od 1.

Niestety na konkursie doprowadziłem tylko do postaci \(\displaystyle{ 8t^{3}-7t^{2}+1>0}\), proszę o poprawę ewentualnych błędów w rozumowaniu i/lub obliczeniach

[przemon]

@Sylwek

Ponieważ jesteś dużo bardziej rozgarnięty, niż przeciętny użytkownik forum, a skoro zabrałeś głos w tym temacie

[kiecior23]

Wyniki:

Gratuluję wszystkim laureatom i wyróżnionym!

[bakala12]

Ja też gratuluje wszystkim laureatom! Mi się niestety nie udało

[kp1311]

60 pkt. prawie wyróżniony

[Xandro]

Ja również gratuluję wyróżnionym i laureatom. Mi się niestety nie udało. Zaintrygowało mnie zadanie 2 - z prawdopodobieństwem. Niby łatwe się wydaje, ale coś mnie gryzie i nie jestem pewny czy dobrze zrobiłem. Czy ktoś mógłby prześledzić mój tok rozumowania i wskazać ewentualne błędy?

Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno bez zwracania pierwszą cyfrę \(\displaystyle{ c_{1}}\) , następnie drugą cyfrę \(\displaystyle{ c_{2}}\) , a potem trzecią cyfrę \(\displaystyle{ c_{3}}\) . Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba 2\(\displaystyle{ c_{1}}\)+3\(\displaystyle{ c_{2}}\)+\(\displaystyle{ c_{3}}\) będzie parzysta.

Skoro 2\(\displaystyle{ c_{1}}\)+3\(\displaystyle{ c_{2}}\)+\(\displaystyle{ c_{3}}\) ma być liczbą parzystą to można napisać 2(\(\displaystyle{ c_{1}}\)+ \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)\(\displaystyle{ c_{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ c_{3}}\)). Liczba 2\(\displaystyle{ c_{1}}\)+3\(\displaystyle{ c_{2}}\)+\(\displaystyle{ c_{3}}\) jest naturalna i parzysta, więc po wyłączeniu 2 przed nawias liczba w nawiasie \(\displaystyle{ c_{1}}\)+ \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)\(\displaystyle{ c_{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ c_{3}}\) musi być naturalna. Aby to zaszło cyfra \(\displaystyle{ c_{1}}\) ma być dowolna, zaś cyfry \(\displaystyle{ c_{2}}\) i \(\displaystyle{ c_{3}}\) podzielne przez 2. Teraz rysuję "drzewko" i obliczam szukane prawdopodobieństwo (link do "drzewka" ... 6cb56.html)

P= \(\displaystyle{ \frac{4}{9} * \frac{3}{8} * \frac{2}{7} + \frac{5}{9} * \frac{4}{8} * \frac{3}{7} = \frac{24+60}{9*8*7} = \frac{84}{504} = \frac{1}{6}}\)

[Errichto]

A co jeśli druga i trzecia nieparzyste? (obie)

[Xandro]

Rzeczywiście, tego nie dostrzegłem. Wtedy też liczba w nawiasie będzie naturalna. W takim wypadku prawdopodobieństwo będzie większe.

Uwzględniając w drzewku również opcję \(\displaystyle{ c_{1}}\) ma dowolna, zaś cyfry \(\displaystyle{ c_{2}}\) i \(\displaystyle{ c_{3}}\) nieparzyste mamy nowy wynik równy:

\(\displaystyle{ P= \frac{4}{9} * \frac{3}{8} * \frac{2}{7} +\frac{4}{9} * \frac{5}{8} * \frac{4}{7}+\frac{5}{9} * \frac{4}{8} * \frac{3}{7} + \frac{5}{9} * \frac{4}{8} * \frac{3}{7} = \frac{24+80+60+60}{9*8*7} = \frac{224}{504} = \frac{4}{9}}\)

[Errichto]

Wynik OK

[kamil13151]

Są gdzieś rozwiązania do zadań? Jak ten pierwszy układ rozwiązać: ... owe_17.cgi

[Vax]

Trzymaj:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^y=243\\ (\frac{2}{3}x)^{2y} = 1024 \end{cases}}\)

Z 2 równania mamy \(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^{2y} \cdot (x^y)^2 = 1024}\)

\(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^{2y} = \frac{32^2}{243^2}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^y = \frac{32}{243}}\)

\(\displaystyle{ y = log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3})^5 = 5\cdot 1 = 5}\)

\(\displaystyle{ x^5 = 243 \Leftrightarrow x=3}\)

\(\displaystyle{ (x,y) = (3,5)}\)

[kamil13151]

Vax, Dziękuje Wydaje się proste, ale trudniej na to wpaść, ja próbowałem wstawiać logarytm do potęgi, ale coś mi nie wychodziło .

a jak tutaj do końca udowodnić, zad 1: ... owe_15.cgi

Ukryta treść:    

Z twierdzenia Bezout'a doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 (x^4+2 x^3+3 x^2+4 x+5) > 0}\)

Jedyne co mi przychodzi namyśl, że musi być:
\(\displaystyle{ x^4+3x^2+5=|2x^3+4x|}\)
Teraz narysować prawy i lewy wykres równania i stwierdzić na podstawie braku punktów wspólnych? Dobrze myślę? Jak to łatwiej udowodnić? Pochodnej tutaj raczej nie da się użyć by stwierdzić brak rozwiązań?