Konkurs matematyczny Politechniki Warszawskiej.

[jarek4700]

Ostatnio biorąc udział w internetowym etapie tego konkursu wykorzystałem nierówność Jensena
\(\displaystyle{ \frac{x ^{7} +y ^{7} }{2} \ge ( \frac{x+y }{2} ) ^{7}}\). Napisałem że równość zachodzi tylko wtedy gdy x = y. W końcu za całe zadanie dostałem tylko 4 punkty na 10 możliwych. Czy więc przypadkiem to nie trzeba udowodnić że równość zachodzi tylko gdy x = y. Ja to wiedziałem bo wcześniej na tym forum ktoś tak napisał o nierówności Jensena. Wiecie jak ewentualnie to udowodnić?

[tkrass]

Tu nie trzeba Jensena, to jest nierówność średnich.

[wally]

A wykazałeś, że funkcja jest wypukła? A jeżeli jesteś sprytny to udowadniasz, że funkcja jest wypukła, rozmieszczasz na jej wykresie dwie równe masy i ponieważ funkcja jest wypukła to środek masy tych dwóch punktów znajduje się nad wykresem

[piotrekbigu]

Witam. Biorę udział w tym samym konkursie i zostało mi już tylko jedno zadanie półfinałowe.
Nawet moja nauczycielka się poddała przy nim. Mianowicie:

Wyznacz wszystkie liczby naturalne, nieparzyste k i l spełniające równanie:
\(\displaystyle{ k^{2} -l^{5}-16=0}\)

Zostało mi tylko to a jutro o ósmej wysyłam, Jeśli ktoś jest w stanie chociaż naprowadzić mnie na rozwiązanie to będę bardzo wdzięczny.

Z góry dziękuję i pozdrawiam

[kammeleon18]

użyj wzoru na różnicę kwadratów

[piotrekbigu]

Na tyle to wpadłem na samym początku.
\(\displaystyle{ l ^{5}=(k-4)(k+4)}\)
\(\displaystyle{ l ^{5}\neq4 \wedge l ^{5}\neq-4}\)

Co dalej?

[laurelandilas]

Nie możemy Ci pomóc, skoro jest to zadanie z trwającego konkursu.

[Marcinek665]

Myślę, że skoro jest to konkurs, gdzie zadania są przydzielane indywidualnie, to można udzielić wskazówki, która jednocześnie nie jest pełnym rozwiązaniem. Prawdziwa wiedza i tak zostanie zweryfikowana na finale.

[Aerosmith]

Witam. Biorę udział w tym samym konkursie i zostało mi już tylko jedno zadanie półfinałowe.
Nawet moja nauczycielka się poddała przy nim. Mianowicie:

Wyznacz wszystkie liczby naturalne, nieparzyste k i l spełniające równanie:
\(\displaystyle{ k^{2} -l^{5}-16=0}\)

Zostało mi tylko to a jutro o ósmej wysyłam, Jeśli ktoś jest w stanie chociaż naprowadzić mnie na rozwiązanie to będę bardzo wdzięczny.

Z góry dziękuję i pozdrawiam

Ja miałem bardzo podobne zadanie, inne potęgi i wyraz wolny, w moim przypadku wykazałem, że nie ma takich liczb.

[piotrekbigu]

Zadania już wysłane, nic nie wymyśliłem niestety. Próbowałem udowodnić, że nie ma żadnych liczb spełniających to równanie, ale przypadkiem znalazłem liczby powyżej miliona, które jednak pasują. tylko za nic nie jestem w stanie tego wykazać.
No cóż, bywa.
Temat do zamknięcia.
Pozdrawiam wszystkich

[kammeleon18]

Próbowałem udowodnić, że nie ma żadnych liczb spełniających to równanie, ale przypadkiem znalazłem liczby powyżej miliona, które jednak pasują. tylko za nic nie jestem w stanie tego wykazać.

Jakie?Bo z tego co mi się wydaje to równanie to nie ma rozwiązań

[Marcinek665]

Na podobnej zasadzie obalono Wielkie Twierdzenie Fermata. Po prostu kalkulator często nie radzi sobie na dużych liczbach.

[mariolawiki1]

\(\displaystyle{ k^2-16=l^5}\)
\(\displaystyle{ (k-4)(k+4)=l^5}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (k-4,k+4)>1.}\)
\(\displaystyle{ d|k-4}\)i \(\displaystyle{ d|k+4}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow d|8}\), czyli d=1, sprzeczność.
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ k-4=a^5}\) i \(\displaystyle{ k+4=b^5}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b \in N}\)
Stąd \(\displaystyle{ b^5 - a^5 = 8}\), tu już można sprawdzić, że nie ma rozwiązań w liczbach N nieparzystych.

Czy gdzieś jest błąd??

[kammeleon18]

ja robiłem tak samo więc błędu nie widzę:P

[smigol]

Hm, kiedyś na stronie konkursu były zadania z poprzednich finałów. Zniknęły, czy ja ich znaleźć nie mogę?