[Rozgrzewka przed maturą] Zadania różne

[mint18]

Ukryta treść:    

Wykorzystamy to, że podobieństwo objętości jest równe sześcianowi skali podobieństwa, a podobieństwo pól - kwadratowi.
Przyjmijmy \(\displaystyle{ V=3V_{k}= \frac{3}{2}V_{m}}\) (gdzie najmniejszy ostrosłup jest podobny to tego największego w skali \(\displaystyle{ k}\) ).

Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V}= \frac{1}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{V_{m}}{V}= \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{P_{k}}{P}= \frac{1}{ \sqrt[3]{9} }}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{P_{m}}{P}= \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{9} }}\) i stąd nasz stosunek wynosi \(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{9} }}\).

40. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,p,q}\) są takie, że \(\displaystyle{ |a| \ge |p|, |b| \ge |q|}\) oraz \(\displaystyle{ ab>0}\). Pokazać, iż \(\displaystyle{ (a+p)(b+q) \ge 0}\).

[Premislav]

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), to \(\displaystyle{ a+p=|a|+p \ge |a|-|p| \ge 0}\) i \(\displaystyle{ b+q=|b|+q \ge |b|-|q| \ge 0}\), gdyż \(\displaystyle{ |x|=\max\left\{ x,-x\right\}}\). Stąd teza.
W przeciwnym razie mamy \(\displaystyle{ a<0}\) i \(\displaystyle{ b<0}\), a zatem \(\displaystyle{ a+p=-(-a-p)=-(|a|-p)}\) oraz \(\displaystyle{ b+q=-(-b-q)=-(|b|-q)}\), więc iloczyn jest równy \(\displaystyle{ (|a|-p)(|b|-q)}\) i oczywiście oba czynniki są nieujemne, gdyż \(\displaystyle{ |a|-p \ge |a|-|p| \ge 0}\) etc.

Zadanie-żarcik: czy istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ W}\) zmiennej rzeczywistej o współczynnikach wymiernych, że
\(\displaystyle{ W(\pi)}\) jest liczbą wymierną?

-- 7 maja 2016, o 15:49 --

Dobra, wrzućcie coś sensownego, ale to miała być taka zabawna (pewnie nie wyszło) ilustracja tego, na czym najczęściej się można wyłożyć w zadaniach na poziomie matury.

[mol_ksiazkowy]

coś sensownego

Uczestnik zawodów strzeleckich trafia do celu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,9}\). Po pierwszym trafieniu przerywa strzelanie. Maksymalna ilość strzałów, jaką może wykonać to 4. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby naboi zużytych przez uczestnika.
Dodatkowe: czy można uogólnić na przypadek gdy może on strzelać \(\displaystyle{ n}\) razy.

[Chewbacca97]

Ukryta treść:    

Prawdopodobieństwo, że trafi za:
1. razem: \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\)
2. razem: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{100}}\)
3. razem: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{1000}}\)
4. razem: \(\displaystyle{ 1 - \frac{9}{10} - \frac{9}{100} - \frac{9}{1000} = \frac{1}{1000}}\)

Czyli najprawdopodobniej zużyje jeden nabój, a najmniej prawdopodobne wydaje się, że aż cztery? "Obliczyć wartość oczekiwaną liczby naboi zużytych przez uczestnika." Nie jestem pewien, jak to interpretować?

edit.
Już wiem jak to interpretować dzięki uprzejmości jednego użytkownika:

\(\displaystyle{ E(x)= \sum_{}^{}i \cdot p(i) \\
E(x)=1 \cdot 0,9+2 \cdot 0,09+3 \cdot 0,009+4 \cdot 0,001=1,111\\
E(x)=1,111}\)
Ale tego (chyba) nie ma w programie szkoły średniej.

[mint18]

Wartości oczekiwanej ani wariancji zmiennej losowej nie ma na maturze, ale warto sobie o tym poczytać jak ktoś chciałby się bawić w robienie statystyk

Wyznaczyć wszystkie liczby wymierne \(\displaystyle{ c}\), dla których trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ cx^2+(2c+1)x+2c-1}\) ma oba pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

[Zahion]

Ukryta treść:    

Iloczyn naszych pierwiastków musi być całkowity i ich suma, skąd całkowite są liczby \(\displaystyle{ \frac{2c-1}{c}, \frac{-2c-1}{c}}\). Mamy stąd, że całkowita musi być liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{c}}\). Niech \(\displaystyle{ c = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( p , q\right) = 1}\), wtedy liczba \(\displaystyle{ \frac{q}{p}}\) musi być całkowita. Stąd mamy, że \(\displaystyle{ p = 1}\), co nam daje \(\displaystyle{ c = \frac{1}{q}}\) dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q}\). Nasza delta to \(\displaystyle{ -4c^{2} +8c + 1}\) co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ q^{2} + 8q - 4}\) musi być kwadratem, czyli liczba \(\displaystyle{ \left( q+4\right)^{2} - 20}\) też nim musi być, a to sprowadza się do wyznaczenia liczb \(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = 20}\). Znalazłem ! Mamy \(\displaystyle{ q = 2}\) i \(\displaystyle{ q = - 10}\)

Powyższe odbiegło od matury, więc przywrócę poziom !
Wyznacz ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1} + ... + x_{n} = x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}}\) w liczbach całkowitych, tj. ilość \(\displaystyle{ n}\) - ek, np. \(\displaystyle{ \left( 1, 1, ... , 1 \right)}\) etc.

[Premislav]

Ukryta treść:    

Zauważmy, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ x}\) mamy\(\displaystyle{ x^{2} \ge x}\) i równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\). Jeśli zatem dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) jest \(\displaystyle{ x_{i} \notin\left\{ 0,1\right\}}\), to łatwo dochodzimy do sprzeczności. Zatem odpowiedź to \(\displaystyle{ 2^{n}}\) - każda liczba musi być zerem albo jedynką.

[mint18]

Zahion, drobna uwaga do zadania:

Ukryta treść:    

Również można było zauważyć, że \(\displaystyle{ (x_1-1)(x_2-1)=5}\), co po chwili kombinowania się narzuci, aby rozważyć właśnie coś takiego

[Premislav]

Nowe: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m \in \RR}\) równanie \(\displaystyle{ \cos x+\sqrt{3}\sin x=\log(m-1)-\log(3-m)}\) ma rozwiązania?-- 7 maja 2016, o 20:54 --Uwaga: \(\displaystyle{ \log}\) to logarytm dziesiętny.

[mint18]

Ukryta treść:    

Założenia: \(\displaystyle{ 1<m<3}\). Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy \(\displaystyle{ 2\sin(x+ \frac{\pi}{6})=\log \frac{m-1}{3-m}}\).

Musi być \(\displaystyle{ -2 \le \log \frac{m-1}{3-m} \le 2}\), a rozwiązaniem tego jest \(\displaystyle{ m \in \left[ \frac{103}{101}, \frac{301}{101}\right ]}\).

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do każdego z tych okręgów odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Udowodnij, że miara kąta \(\displaystyle{ \angle BAC}\) jest stała (nie zależy od promienia żadnego z okręgów).

[marcel0906]

Ukryta treść:    

Oznaczam środki okręgów jako \(\displaystyle{ O _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ O _{2}}\)
Łatwo zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AO _{1}B}\) oraz \(\displaystyle{ AO _{2}C}\) są równoramienne.
\(\displaystyle{ \angle ACO _{2} = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABO _{1} = \beta}\)
Więc \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \angle BAC=180^o}\)
\(\displaystyle{ \angle BAC+ \angle BCA+ \angle ABC= \angle BAC + (90^o - \alpha) + (90^o - \beta)=180^o}\)
\(\displaystyle{ \angle BAC - \alpha - \beta =0}\)
A skoro
\(\displaystyle{ \angle BAC + \alpha + \beta =180^o}\)
to
\(\displaystyle{ \angle BAC =90^o}\)

Przekątne czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) mają długości \(\displaystyle{ d _{1}}\) i \(\displaystyle{ d _{2}}\). Odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) mają równe długości. Obliczyć pole czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\).

[mint18]

Ukryta treść:    

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) odpowiednio środki boków \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ AD}\). Dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) odcinek \(\displaystyle{ KN}\) jest odcinkiem łączącym środki boków więc jest równoległy do podstawy i jest od niej dwa razy krótszy. Patrząc na pozostałe trójkąty uzyskujemy, że \(\displaystyle{ KLMN}\) jest równoległobokiem o bokach \(\displaystyle{ \frac{d_{1}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{d_{2}}{2}}\). Z drugiego warunku wynika, że \(\displaystyle{ KLMN}\) jest prostokątem (wykorzystując, że przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie, a potem krótkie liczenie kątów). Czyli \(\displaystyle{ P_{KLMN}= \frac{d_{1}d_{2}}{4}}\) .
Prawdziwe są równości: \(\displaystyle{ P_{AKN}= \frac{1}{4} P_{ABD}, P_{KBL}= \frac{1}{4} P_{ABC}, P_{LCM}= \frac{1}{4} P_{BCD}, P_{MDN}= \frac{1}{4} P_{CDA}}\).
Mamy: \(\displaystyle{ P_{KLMN}=P_{ABCD}-(P_{AKN}+P_{KBL}+ P_{ABC}+P_{MDN})= \frac{1}{2}P_{ABCD}}\).

Musiałem wykorzystać ogólniejszy związek pól tych dwóch czworokątów, jak od razu pokazać, że \(\displaystyle{ ABCD}\) jest rombem?

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \left(\sqrt{3+2\sqrt2}\right)^x+\left(\sqrt{3-2\sqrt2}\right)^x=6}\).

[Premislav]

Ukryta treść:    

Kładziemy \(\displaystyle{ t= \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{x}}\), wtedy \(\displaystyle{ \left(\sqrt{3-2\sqrt2}\right)^x=\frac 1 t}\) i mamy równanie \(\displaystyle{ t+\frac 1 t=6\\}\), czyli
\(\displaystyle{ t^{2}-6t+1=0}\), a to się zwija do \(\displaystyle{ (t-3)^{2}-8=0}\), zaś dalej do \(\displaystyle{ (t-3-2\sqrt{2})(t-3+2\sqrt{2})=0}\). Odpowiedź:
\(\displaystyle{ x=2 \vee x=-2}\)

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami pewnego trójkąta, to zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leq\frac{1}{8}}\)-- 8 maja 2016, o 11:55 --dobra, nie wiem nawet czy to prawda, szukałem na szybko.

[mol_ksiazkowy]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-\cos(\alpha)}{2}= \frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} \leq \frac{1}{4} \frac{a^2}{bc}}\)
gdyż \(\displaystyle{ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2}\)
i analogicznie inne sinusy i wymnożyć

Zadanie:
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\log_{\sqrt{x}} (5x)} \ log_{5} \ x = -2}\)

[wielkireturner]

Zadanie Premislava można ewentualnie rozwiązać, korzystając najpierw z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, a następnie z nierówności Jensena, bo \(\displaystyle{ \sin x}\) jest funkcją wklęsłą w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\).
A rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ x = \frac{1}{25}}\).