Matematyka.pl

Wykorzystamy to, że podobieństwo objętości jest równe sześcianowi skali podobieństwa, a podobieństwo pól - kwadratowi.
Przyjmijmy \(\displaystyle{ V=3V_{k}= \frac{3}{2}V_{m}}\) (gdzie najmniejszy ostrosłup jest podobny to tego największego w skali \(\displaystyle{ k}\) ).

Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{V_{k}}{V}= \frac{1}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{V_{m}}{V}= \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{P_{k}}{P}= \frac{1}{ \sqrt[3]{9} }}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{P_{m}}{P}= \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{9} }}\) i stąd nasz stosunek wynosi \(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{9} }}\).

Jeśli \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), to \(\displaystyle{ a+p=|a|+p \ge |a|-|p| \ge 0}\) i \(\displaystyle{ b+q=|b|+q \ge |b|-|q| \ge 0}\), gdyż \(\displaystyle{ |x|=\max\left\{ x,-x\right\}}\). Stąd teza.
W przeciwnym razie mamy \(\displaystyle{ a<0}\) i \(\displaystyle{ b<0}\), a zatem \(\displaystyle{ a+p=-(-a-p)=-(|a|-p)}\) oraz \(\displaystyle{ b+q=-(-b-q)=-(|b|-q)}\), więc iloczyn jest równy \(\displaystyle{ (|a|-p)(|b|-q)}\) i oczywiście oba czynniki są nieujemne, gdyż \(\displaystyle{ |a|-p \ge |a|-|p| \ge 0}\) etc.

Prawdopodobieństwo, że trafi za:
1. razem: \(\displaystyle{ \frac{9}{10}}\)
2. razem: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{100}}\)
3. razem: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{1000}}\)
4. razem: \(\displaystyle{ 1 - \frac{9}{10} - \frac{9}{100} - \frac{9}{1000} = \frac{1}{1000}}\)

Czyli najprawdopodobniej zużyje jeden nabój, a najmniej prawdopodobne wydaje się, że aż cztery? "Obliczyć wartość oczekiwaną liczby naboi zużytych przez uczestnika." Nie jestem pewien, jak to interpretować?

edit.
Już wiem jak to interpretować dzięki uprzejmości jednego użytkownika:

kerajs pisze:\(\displaystyle{ E(x)= \sum_{}^{}i \cdot p(i) \\
E(x)=1 \cdot 0,9+2 \cdot 0,09+3 \cdot 0,009+4 \cdot 0,001=1,111\\
E(x)=1,111}\)
Ale tego (chyba) nie ma w programie szkoły średniej.

Iloczyn naszych pierwiastków musi być całkowity i ich suma, skąd całkowite są liczby \(\displaystyle{ \frac{2c-1}{c}, \frac{-2c-1}{c}}\). Mamy stąd, że całkowita musi być liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{c}}\). Niech \(\displaystyle{ c = \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( p , q\right) = 1}\), wtedy liczba \(\displaystyle{ \frac{q}{p}}\) musi być całkowita. Stąd mamy, że \(\displaystyle{ p = 1}\), co nam daje \(\displaystyle{ c = \frac{1}{q}}\) dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q}\). Nasza delta to \(\displaystyle{ -4c^{2} +8c + 1}\) co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ q^{2} + 8q - 4}\) musi być kwadratem, czyli liczba \(\displaystyle{ \left( q+4\right)^{2} - 20}\) też nim musi być, a to sprowadza się do wyznaczenia liczb \(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = 20}\). Znalazłem ! Mamy \(\displaystyle{ q = 2}\) i \(\displaystyle{ q = - 10}\)

Zauważmy, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ x}\) mamy\(\displaystyle{ x^{2} \ge x}\) i równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\). Jeśli zatem dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) jest \(\displaystyle{ x_{i} \notin\left\{ 0,1\right\}}\), to łatwo dochodzimy do sprzeczności. Zatem odpowiedź to \(\displaystyle{ 2^{n}}\) - każda liczba musi być zerem albo jedynką.

Również można było zauważyć, że \(\displaystyle{ (x_1-1)(x_2-1)=5}\), co po chwili kombinowania się narzuci, aby rozważyć właśnie coś takiego

Założenia: \(\displaystyle{ 1<m<3}\). Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i mamy \(\displaystyle{ 2\sin(x+ \frac{\pi}{6})=\log \frac{m-1}{3-m}}\).

Musi być \(\displaystyle{ -2 \le \log \frac{m-1}{3-m} \le 2}\), a rozwiązaniem tego jest \(\displaystyle{ m \in \left[ \frac{103}{101}, \frac{301}{101}\right ]}\).

Oznaczam środki okręgów jako \(\displaystyle{ O _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ O _{2}}\)
Łatwo zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AO _{1}B}\) oraz \(\displaystyle{ AO _{2}C}\) są równoramienne.
\(\displaystyle{ \angle ACO _{2} = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ABO _{1} = \beta}\)
Więc \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \angle BAC=180^o}\)
\(\displaystyle{ \angle BAC+ \angle BCA+ \angle ABC= \angle BAC + (90^o - \alpha) + (90^o - \beta)=180^o}\)
\(\displaystyle{ \angle BAC - \alpha - \beta =0}\)
A skoro
\(\displaystyle{ \angle BAC + \alpha + \beta =180^o}\)
to
\(\displaystyle{ \angle BAC =90^o}\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\) odpowiednio środki boków \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ AD}\). Dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) odcinek \(\displaystyle{ KN}\) jest odcinkiem łączącym środki boków więc jest równoległy do podstawy i jest od niej dwa razy krótszy. Patrząc na pozostałe trójkąty uzyskujemy, że \(\displaystyle{ KLMN}\) jest równoległobokiem o bokach \(\displaystyle{ \frac{d_{1}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{d_{2}}{2}}\). Z drugiego warunku wynika, że \(\displaystyle{ KLMN}\) jest prostokątem (wykorzystując, że przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie, a potem krótkie liczenie kątów). Czyli \(\displaystyle{ P_{KLMN}= \frac{d_{1}d_{2}}{4}}\) .
Prawdziwe są równości: \(\displaystyle{ P_{AKN}= \frac{1}{4} P_{ABD}, P_{KBL}= \frac{1}{4} P_{ABC}, P_{LCM}= \frac{1}{4} P_{BCD}, P_{MDN}= \frac{1}{4} P_{CDA}}\).
Mamy: \(\displaystyle{ P_{KLMN}=P_{ABCD}-(P_{AKN}+P_{KBL}+ P_{ABC}+P_{MDN})= \frac{1}{2}P_{ABCD}}\).

Musiałem wykorzystać ogólniejszy związek pól tych dwóch czworokątów, jak od razu pokazać, że \(\displaystyle{ ABCD}\) jest rombem?

Kładziemy \(\displaystyle{ t= \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{x}}\), wtedy \(\displaystyle{ \left(\sqrt{3-2\sqrt2}\right)^x=\frac 1 t}\) i mamy równanie \(\displaystyle{ t+\frac 1 t=6\\}\), czyli
\(\displaystyle{ t^{2}-6t+1=0}\), a to się zwija do \(\displaystyle{ (t-3)^{2}-8=0}\), zaś dalej do \(\displaystyle{ (t-3-2\sqrt{2})(t-3+2\sqrt{2})=0}\). Odpowiedź:
\(\displaystyle{ x=2 \vee x=-2}\)

\(\displaystyle{ \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-\cos(\alpha)}{2}= \frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} \leq \frac{1}{4} \frac{a^2}{bc}}\)
gdyż \(\displaystyle{ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2}\)
i analogicznie inne sinusy i wymnożyć