Konkurs matematyczny Politechniki Warszawskiej.

[Aerosmith]

Zaskoczył mnie, był łatwiejszy niż się spodziewałem. Oczywiście, nie liczę na żadne wyróżnienie.
Obym do matury uporał się z tymi niedopatrzeniami.

[kp1311]

fajnie było, żałuje że nie dokończyłem zadania 3, szacowanie \(\displaystyle{ 1 \le x^2 -10x-22<9x}\), szybko ułatwiłoby sprawe, ale na konkursie jakoś tego zrobiłem, zamiast tego szacowałem inaczej i dostałem jedynie że x jest dwucyfrowy apotem nie pociągnąłem dalej szacowania, trudno :/ Nie zrobiłem zadania 4, i do tej pory nie wiem jak je ugryźć. Ktoś mógłby zaprezentować rozwiązanie?

[Marcinek665]

Trudny konkurs. Można zaryzykować stwierdzenie, że najtrudniejszy z nieolimpijskich. Co nie umniejsza faktu, że największym problemem jest tutaj jednak czas.

[kp1311]

3. Niech \(\displaystyle{ x = 10^{n-1}a_{n} + 10^{n-2}a_{n-1} ... + 10a_2+a_{1}}\)
\(\displaystyle{ x^2 - 10x - 22 = a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot ...a_{1} \le 9^n < 9 \cdot 10^{n-1} < 9(10^{n-1}a_{n} + 10^{n-2}a_{n-1} ... + 10a_2+a_{1}) = 9x}\)
Po rozwiązaniu \(\displaystyle{ x^2 - 10-22<9x}\) otrzymamy że \(\displaystyle{ x<20}\), drugiej strony \(\displaystyle{ x^2-10-22 \ge 1}\) tutaj dostaniemy że \(\displaystyle{ x>11}\) czyli \(\displaystyle{ 12 \le x \le 19}\), więc iloczyn cyfr jest równy \(\displaystyle{ 1 \cdot a_{2} \le 9}\) czyli \(\displaystyle{ x^2 - 10x -22 \le 9}\) z tego dostaniemy x<13, na koniec kładziemy \(\displaystyle{ x=12}\), \(\displaystyle{ 1 \cdot 2= 12^2 -10 \cdot 12 -22 = 144 -120 -22 =2}\). Odp\(\displaystyle{ 12}\).

5. W, środek okręgu wpisanego w nasz trójkąt, S - środek okręgu zawierającego śrroki boków naszego trójkąta. Niech T bedzie trójkątem który zawiera środki boków naszego trójkąta, łatwo dowieść że jest on także prostokątny a przy tym podobny do naszego trójkąta w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), więc promień okręgu na nim opisanego to \(\displaystyle{ \frac{c}{4}}\).
Jak sobie rozrysujemy to zauważamy że:
\(\displaystyle{ |SW|^2 = (r- \frac{a}{4} )^2 + (r - \frac{b}{4} )^2 = ...= (r - \frac{c}{4} )^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{4} + |SW| = r}\) a to jest równoważne tezie, r- promień okręgu wpisanego w nasz trójkąt, a,b przyprostokątne, c - przeciwprostokątna.

[me123]

ja zrobiłam 4 w ten sposób, mówię o tej części z dowodem, że stwierdziłam, że \(\displaystyle{ x}\) może być kątem trójkąta prostokątnego, podstawiłam w miejsca \(\displaystyle{ sinx cosx}\) odpowiednie stosunki boków, potem użyłam tw Pitagorasa, następnie podzieliłam obie strony przez jeden z tych boków do 3 potęgi i podstawiłam za np. \(\displaystyle{ \frac{a}{b} =t}\) potem tą nierówność zrobiłam graficznie... nie wiem czy to wystarczy, ale w sumie mogłoby... chociaż za fachowe to to nie jest
sory, że tak byle jak, ale nie chce mi się dokładniej tego pisać:)

ale ciekawa jestem co należało zrobić w 1?

[kp1311]

Wziąłem sobie \(\displaystyle{ x-2>0}\) bo tak było wygodnie
Dwa przypadki \(\displaystyle{ 0<x-2<1 \wedge W(x) <0}\) oraz \(\displaystyle{ x-2>1 \wedge W(x)>0}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 6x^3 + 9x^2 -6x + 8}\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 + 1)(x-2)(x-4)}\)

Całkowite też ujemne też spełniają ale tego nie uwzględniłem...

[me123]

a dla \(\displaystyle{ x-2<1}\)?

[kp1311]

\(\displaystyle{ 0<x-2<1}\) i \(\displaystyle{ W(x) <0}\)

Jak tak sobie teraz myśle to trzeba było uwzględnić przypadek gdy \(\displaystyle{ W(x)}\) jest naturalne bo wtedy dziedziną jest R...

[me123]

hehe... mi też tak by było wygodnie:) nie wiesz może kiedy będą wyniki?
ps. wcześniej chodziło mi naturalnie o \(\displaystyle{ x-2<0}\)

[kp1311]

Nie wiem, zresztą pewnie i tak nic nie wygram. Szkoda mi tylko tego zadania numer 3 bo przecież dobrze kombinowałem :/ Gdybym nie próbował pałowąc 5 analitycznie moze miałbym czas


Najbardziej rozbroił mnie tekst o tym żeby nie siadać na krzesłach dekoracyjnych

[me123]

nigdy nic nie wiadomo, z naszej szkoły było sporo osób, i ogólnie wszystkim wyszło średnio, a ja się machnęłam w tym 4 przy wyznaczania \(\displaystyle{ x _{0}}\) po prostu nienawidzę trygonometrii... ale mam nadzieję, że to nie wpłynie bardzo na ocenę tego zadania;/

ja pisałam, na innej sali, ale też o tym słyszałam, krzesła do dekoracji, to dopiero coś:)

[Sylwek]

2-3 lata temu robiłem zadanie podobne do Waszego dzisiejszego zadania 3 - czasu trochę upłynęło, ale to chyba było zadanie z pewnej "Małej OM". Istnieje nawet mocniejsze oszacowanie na iloczyn cyfr liczby. Na przykład mając 7693 mamy:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 3 < 7 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 7000<7693}\)

Czyli pokażemy, że iloczyn cyfr liczby naturalnej jest mniejszy od samej liczby (równość jest w przypadku liczb-cyfr, które pomijam):
\(\displaystyle{ x = 10^{n}a_{n} + 10^{n-1}a_{n-1} ... + 10a_1+a_0}\)

Wówczas:
\(\displaystyle{ a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ldots \cdot a_0 < a_n \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 10 = a_n \cdot 10^n \le 10^{n}a_{n} + 10^{n-1}a_{n-1} ... + 10a_1+a_0=x}\)

Nawiasem mówiąc niezwykle piękny rezultat

Czyli zadanie z dzisiejszego konkursu polegało na sprawdzeniu czy warunki zadania spełniają liczby naturalne spełniające nierówność: \(\displaystyle{ 1 \le x^2 - 10x - 22 \le x}\), czyli \(\displaystyle{ 12 \le x \le 12 \iff x=12}\). Spełnia? Spełnia, koniec.

[Valar]

Co do zadania pierwszego - można zauważyć

\(\displaystyle{ x^{4}-6x^{3}+9x^{2}-6x+8=(x^{2}+1)(x-2)(x-4)}\)

Wynik zawsze będzie parzysty, albo postaci parzysta/nieparzysta, więc dla \(\displaystyle{ x-2<-1}\) nierówność też będzie prawdziwa (dla \(\displaystyle{ x<1}\) wykładnik jest dodatni). Oczywiście mogłem się pomylić
Ludziom z mojej szkoły też poszło średnio, jakieś 2-3 zadania i reszta pozaczynane. Zadanka harde i mimo że się spodziewałem takiego poziomu nie poszło tak jak chciałem, nawet nie liczę na wyróżnienie

[kp1311]

A czy np. \(\displaystyle{ (-1)^ \sqrt{5}}\) jest liczbą rzeczywistą?
To że wykładnik jest dodatni nie oznacza że podstawa może być ujemna.

[bakala12]

A u mnie całkiem nieźle wyszło. Zobaczymy. Oczywiście nierówność z zadania 4 miałem w drugim zestawie półfinałowym: do tej pory nie wiem jak ją ugryźć nie stosując rachunku różniczkowego. Ale muszę spróbować tego co napisała me123,
Ogólnie nie jest źle