IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei

[kenobiii]

POZIOM 1
Zad.1
\(\displaystyle{ 6 ^{5}-12 ^{3}-24 ^{2}=2 ^{5} \cdot 3 ^{5} -4 ^{3} \cdot 3 ^{3} -3 ^{2} \cdot 8 ^{2}=2 ^{5} \cdot 3 ^{5} -2 ^{6} \cdot 3 ^{3} -3 ^{2} \cdot 2 ^{6}=2 ^{5} \cdot 3 ^{2} \left(3 ^{3} -3\cdot 2 -2\right)=2 ^{5} \cdot 3 ^{2}\cdot 19=2 ^{2} \cdot 3 ^{2}\cdot 152}\)
Zatem \(\displaystyle{ \left( 2 ^{2} \cdot 3 ^{2}\cdot 152\right) ^{2009} = 152 \cdot 152 ^{2008} \cdot \left(2 ^{2} \cdot 3 ^{2} \right) ^{2009} c.k.d.}\)

Zad.2
\(\displaystyle{ Andrzej \ przed \ laty - 4x}\)
\(\displaystyle{ Jan \ przed \ laty - x}\)
\(\displaystyle{ Roznica \ wieku \ miedzy \ nimi \ wynosi \ 3x}\)

\(\displaystyle{ Andrzej \ obecnie - 7x}\)
\(\displaystyle{ Jan \ obecnie - 4x}\)

\(\displaystyle{ Andrzej \ pozniej - 10x}\)
\(\displaystyle{ Andrzej \ pozniej - 7x}\)

\(\displaystyle{ 10x=40}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)
Stąd Jan ma 16 lat, Andrzej 28 lat.

Zad. 3

\(\displaystyle{ CD'\parallel \ AB \ \ \Delta \ ABC \ i \ \Delta \ ACD - rownoramienne}\)
\(\displaystyle{ stad \ \sphericalangle CAB= \sphericalangle ACB \ i \ \sphericalangle CAD= \sphericalangle ADC}\)
\(\displaystyle{ Ponadto \ \sphericalangle ACB= \sphericalangle CAD \ \left(katy \ naprzemianlegle \right)}\)
\(\displaystyle{ Oraz\ \sphericalangle BAD= \sphericalangle CD'D \ \left(bo \ CD'\parallel \ AB\ \right)}\)
\(\displaystyle{ Stad\ \sphericalangle CAB= \sphericalangle ACB = \sphericalangle CAD= \sphericalangle ADC= \alpha \ i \ \sphericalangle BAD= \sphericalangle CD'D=2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ W \ \ \Delta \ D'DC \ jest \ D'D=AD-AD'=AD-BC=CD}\)
\(\displaystyle{ Wiec \ \sphericalangle CD'D= \sphericalangle D'CD}\)
\(\displaystyle{ Stad \ 5 \alpha =180 ^{o}, \ czyli \ \alpha =36 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ Zatem \ katy \ trapezu \ to: 36 ^{o}, \ 72 ^{o}, \ 144 ^{o}, \ 108 ^{o},}\)

Zad.4
\(\displaystyle{ Z \ zalozenia \ x- \frac{1}{x}=4 \ \ \backslash ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} +\frac{1}{x ^{2} }=16}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2 +\frac{1}{x ^{2} }=16}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +\frac{1}{x ^{2} }=18 \ \ \backslash ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{4} + 2 \cdot x ^{2} \cdot \frac{1}{x ^{2} } +\frac{1}{x ^{4} }=324}\)
\(\displaystyle{ x ^{4} + 2 +\frac{1}{x ^{4} }=324}\)
\(\displaystyle{ stad \ x ^{4}+\frac{1}{x ^{4} }=322}\)

Zad.5


\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah _{a} = \frac{1}{2}bh _{b} =\frac{1}{2}ch _{c}}\)
\(\displaystyle{ Stad \ h _{a} = \frac{2P}{a}, \ h _{b} = \frac{2P}{b}, \ h _{c} = \frac{2P}{c}}\)
\(\displaystyle{ ale \ h _{c} = h _{a} +h _{b}}\)
\(\displaystyle{ zatem \frac{2P}{c}=\frac{2P}{a}+\frac{2P}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{c}=\frac{a+b}{a \cdot b}}\)
\(\displaystyle{ wiec \ c=\frac{a \cdot b}{a + b}}\)

Poziom 2 za chwile...

-- 29 marca 2009, 00:40 --

POZIOM 2

Zad.1
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} +c ^{2} =ab+bc+ac}\)
\(\displaystyle{ 2a ^{2}+2b ^{2} +2c ^{2} =2ab+2bc+2ac}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}-2ab+b ^{2} +b ^{2}-2bc+c ^{2}+a ^{2}-2ac+c ^{2} =0}\)
\(\displaystyle{ \left(a-b \right) ^{2}+\left(b-c \right) ^{2}+\left(a-c \right) ^{2} =0}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a-b=0, \ b-c=0, \ a-c=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ a=b=c}\)

Zad. 2
[url=http://www.fotosik.pl/showFullSize.php?id=dbb791a9e8e0bab3][/url]
\(\displaystyle{ x ^{2}+9 ^{2}=h ^{2} ; \ y ^{2}+12 ^{2}=h ^{2}; \ \left(x+y \right) ^{2}+3 ^{2}=2h ^{2}}\)
Po rozwiązaniu układu równań
\(\displaystyle{ x=12 m; \ y=9m \ h=15m}\)
Wysokość drabiny 15 m, szerokość ulicy 21 m.

Zad. 3
Liczba \(\displaystyle{ 63 ^{63}-43 ^{43}}\) jest podzielna przez 10, jeżeli liczby \(\displaystyle{ 63 ^{63}}\) i \(\displaystyle{ 43 ^{43}}\) mają równe reszty z dzielenia przez 10.
Wniosek. \(\displaystyle{ 63 ^{63} \equiv 3 ^{63} \left(mod10 \right)}\) i \(\displaystyle{ 43 ^{43} \equiv 3 ^{43} \left(mod10 \right)}\)
Wyznaczamy wszystkie możliwe reszty z dzielenia \(\displaystyle{ 3 ^{n}}\) przez 10: 3, 9, 7, 1; oraz stwierdzamy, że są one okresowe (reszty).
Wniosek. \(\displaystyle{ 3 ^{63} \equiv 7\left(mod10 \right)}\) i \(\displaystyle{ 3 ^{43} \equiv 7\left(mod10 \right)}\). Stwierdzamy tezę.

Zad. 4
[url=http://www.fotosik.pl/showFullSize.php?id=b3676ca00ab67038][/url]
\(\displaystyle{ h _{a}, \ h _{b}, \ h _{c}}\) wysokości opuszczone odpowiednio na boki a, b, c.
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt
P - pole trójkąta
Stwierdzamy podobieństwo odpowiednich trójkątów i zapisujemy zależności
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}= \frac{h _{a}-2r}{h _{a}}; \ \frac{y}{b}= \frac{h _{b}-2r}{h _{b}}; \ \frac{z}{c}= \frac{h _{c}-2r}{h _{c}}}\)
Przekształcamy zależności:
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}= 1-\frac{2r}{h _{a}}; \ \frac{y}{b}= 1-\frac{2r}{h _{b}}; \ 1-\frac{z}{c}= \frac{2r}{h _{c}}}\)
\(\displaystyle{ h _{a}= \frac{2P}{a}; \ h _{b}= \frac{2P}{b}; \ h _{c}= \frac{2P}{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}= 1-\frac{ar}{P}; \ \frac{y}{b}= 1-\frac{br}{P}; \ 1-\frac{z}{c}= \frac{cr}{P}}\)
Obliczamy sumę
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=3- \frac{r \left( a+b+c\right) }{P}}\)
Korzystamy ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left( a+b+c\right)r}\) i otrzymujemy tezę \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}\)


Zad.5
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \ge 0\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \end{cases}}\)
Korzystamy z zależności: \(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left(x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-2x_{1}x_{2}}\)
Rozwiązujemy układ \(\displaystyle{ k\in \left(- \infty ;4-2 \sqrt{2} \right> \cup \left<4+2 \sqrt{2}; \infty \right)}\) i \(\displaystyle{ k\in \{ 1;3\}}\)
Odpowiedź k=1


Mam nadzieję że się nigdzie nie pomyliłem w zapisywaniu...
A zadania raczej z tych prostszych...

[sokool928]

Kurde zrobilem 1,2,4 i 5 zadanie a wracajac do domu wymyslilem jak zrobic 3 ale bylo juz za pozno

[misq23]

U nas podium zawierało się w przedziale 23-26pkt.
Wg mnie próg będzie w okolicach ~17pkt. myślę, ale to się okaże dopiero

[wielkie3]

POZIOM 1
Zad. 4

Obliczamy sumę
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=3 \frac{r \left( a+b+c\right) }{P}}\)

tu
popraw na
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+\frac{z}{c}=3- \frac{r \left( a+b+c\right) }{P}}\)

sorry że się czepiam, no ale to tak dla tych którym by cos nie pasowało

[kenobiii]

tu
popraw na
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=3- \frac{r \left( a+b+c \right) }{P}}\)

sorry że się czepiam, no ale to tak dla tych którym by cos nie pasowało

Dzięki, już poprawiam.

[Ratrak]

po dosyc malej trudnosci testu jak sadzicie ile bedzie wynosil prog na poziomie I??

[prox]

U nas (powiat jasielski) 10 osób ma ponad 20 punktów, pierwsze miejsce ma 28 pkt, w poziomie I

[kuba746]

Wie ktoś kiedy będą wyniki??

[Ratrak]

powiatowe to juz w sumie powinny byc:D
a lista zakwalifikowanych to wydaje mi sie ze niepozniej jak do konca tygodnia??

[prox]

Próg na poziomie I to 21 pkt

[Afish]

Podobno próg na poziomie II to 18 punktów, ale pewności nie mam.

[ola_30]

Próg na poziomie I to 21 pkt

Jesteś tego pewien? Skąd o tym się dowiedziałeś?

[Ratrak]

Próg dosyć wysoki, ale pewnie dlatego ze łatwe były zadania
To prawda że ta osoba ktora wygrała powiatowy przechodzi automatycznie do następnego etapu??

[kuba746]

Afish, masz racje na drugim poziomie 18 pkt. Kto jedzie do Krosna??

[prox]

Jesteś tego pewien? Skąd o tym się dowiedziałeś?

Próg podał nam nauczyciel i raczej mysle ze nie bylo to prima aprilis