[Nierówności][Planimetria] Trójkąt ostrokątny a średnia okręgu opisanego

[Sylwek]

Dziś sobie przypomniałem o tej nierówności przy okazji ćwiczeń z nierównością Jensena - i chyba mam troszkę prostszy sposób na tą nierówność. Rozpatrzmy: \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\), wtedy: \(\displaystyle{ f''(x)=-\sin x}\). W szczególności \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in (0,\frac{\pi}{2})} f''(x)g(x)}\)

W szczególności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\alpha)>g(\alpha) \\ f(\beta)>g(\beta) \\ f(\gamma)>g(\gamma) \end{cases}}\)

Dodając stronami i pamiętając, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > 2}\)

Nierówność Jensena to potężna broń, niektórzy wręcz stwierdzili, że wyprowadza się ją z nierówności Jensena

A to dla zobrazowania sytuacji:




Dla treningu, być może łatwe po przeanalizowaniu powyższego posta: \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in (0,\frac{\pi}{2})}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\), udowodnij: \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma >1}\)

[Gierol]

ten dowod istnieje tylko i wylacznie dzieki mnie, bo sylwek sie mnie spytal czy da rade, a ja mu odpowiedzialem ze chyba da

[Swistak]

Tak, tak na pewno jest to prostszy sposób ;P.

[Brzytwa]

Dziś sobie przypomniałem o tej nierówności przy okazji ćwiczeń z nierównością Jensena - i chyba mam troszkę prostszy sposób na tą nierówność. Rozpatrzmy: \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\), wtedy: \(\displaystyle{ f''(x)=-\sin x}\). W szczególności \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in (0,\frac{\pi}{2})} f''(x)g(x)}\)

W szczególności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(\alpha)>g(\alpha) \\ f(\beta)>g(\beta) \\ f(\gamma)>g(\gamma) \end{cases}}\)

Dodając stronami i pamiętając, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > 2}\)

Nierówność Jensena to potężna broń, niektórzy wręcz stwierdzili, że wyprowadza się ją z nierówności Jensena

A to dla zobrazowania sytuacji:




Dla treningu, być może łatwe po przeanalizowaniu powyższego posta: \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in (0,\frac{\pi}{2})}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\pi}\), udowodnij: \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma >1}\)

Rozwiązanie niemal identyczne jak moje, tylko tyle, że ja nie korzystałem wprost z nierówności Jensena.

[Sylwek]

Tak, ale warto czasem się zorientować, skąd wytrzasnąłeś to \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) . Znajomość różnych sposobów rozwiązania zadania, nawet niewiele się różniących, jest dość istotna

[Brzytwa]

Ja to wytrzasnąłem licząc prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,sin0)}\) i \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{2},sin\frac{\pi}{2})}\)