Spójność i łukowa spójność

[Jan Kraszewski]

W jednym z pytań zapomniałeś o przeliczalności - no chyba, że myślałeś, że jej tam nie ma.

JK

[krasnoludek10]

Chodzi mi o ten fragment:

Zadałeś pytanie "Ale jest tak tylko w przypadku homeomorfizmów? Czy wszystkich przekształceń ciągłych?", co ja zinterpretowałem jako pytanie "Czy jeśli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest ciągła i zbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ f[A]}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ Y}\)?"

[Jan Kraszewski]

Ale na czym miało polegać zapomnienie o przeliczalności? Jeżeli zbiór jest przeliczalny, to jego dowolny obraz też, bo mamy \(\displaystyle{ |f[A]|\le|A|.}\)

JK

[krasnoludek10]

Czego oni uczą na tych studiach - pierwsze słyszę o tej własności i dlatego myślałem, że po prostu pominąłeś przeliczalność

[Jan Kraszewski]

Czego oni uczą na tych studiach - pierwsze słyszę o tej własności

To jest zupełnie elementarna własność, którą poznaje się na Wstępie do matematyki.

JK

[Jakub Gurak]

Jeżeli zbiór jest przeliczalny, to jego dowolny obraz też, bo \(\displaystyle{ \color{red}{mamy \ |f[A]|\le|A|}.}\)

Muszę zgodzić się z krasnoludkiem10- nie jest to popularna własność. Jest to prawda (i pojęciowo, jak dla mnie, prosta- na mocy definicji funkcji), ale do jej dowodu używa się aksjomatu wyboru... I spotkałem tą własność tylko w książce Kuratowskiego "Teoria Mnogości" ...(nie jest to książka o Teorii Mnogości, tam jest wiele dziwnych rzeczy...).
Lepiej to uzasadnić tak:
Niech zbiór \(\displaystyle{ X}\) będzie co najwyżej przeliczalny i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Jeśli \(\displaystyle{ X=\left\{ \right\} }\), to zbiór \(\displaystyle{ f_P= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( X\right)=\stackrel{ \rightarrow }{f}\left( \left\{ \right\} \right)=\left\{ \right\}}\) jest co najwyżej przeliczalny. W przeciwnym razie, z własności zbiorów co najwyżej przeliczalnych, otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) da się ustawić w ciąg, tzn. istnieje funkcja 'na' \(\displaystyle{ g:\NN \rightarrow X.}\) Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow f_P}\) jest funkcja 'na' zbiór wartości \(\displaystyle{ f_P}\). Wtedy złożenie \(\displaystyle{ \left( f\circ g\right):\NN \rightarrow f_P}\), jako złożenie dwóch funkcji 'na', jest funkcją 'na', a zatem zbiór \(\displaystyle{ f_P}\) da się ustawić w ciąg i jest co najwyżej przeliczalny.\(\displaystyle{ \square}\)

[Jan Kraszewski]

Muszę zgodzić się z krasnoludkiem10- nie jest to popularna własność.

Nie wiem, co Ty robiłeś na studiach na Wstępie do matematyki.

I spotkałem tą własność tylko w książce Kuratowskiego "Teoria Mnogości" ...(nie jest to książka o Teorii Mnogości, tam jest wiele dziwnych rzeczy...).

Może to nie jest książka o Gurakowej Teorii Mnogości, natomiast zdecydowanie jest o Teorii Mnogości.

JK

[krasnoludek10]

Nie wiem jak to było u Jakuba, ale u mnie na studiach zrezygnowano z tego przedmiotu. A szkoda Na "Elementach logiki i teorii mnogości" też nie było o takowych własnościach...

[Jan Kraszewski]

Na "Elementach logiki i teorii mnogości" też nie było o takowych własnościach...

Ten przedmiot to inna nazwa Wstępu do matematyki... A fakt, że obraz zbioru przeliczalnego jest przeliczalny wprost wynika z własności funkcji i definicji obrazu (jak w dowodzie, który napisał Jakub).

JK

[matmatmm]

Jest to prawda (i pojęciowo, jak dla mnie, prosta- na mocy definicji funkcji), ale do jej dowodu używa się aksjomatu wyboru

To zależy jaką przyjmiemy definicję dla zależności:

"moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejsza bądź równa od mocy zbioru \(\displaystyle{ B}\)".

Można przyjąć definicję

"istnieje suriekcja \(\displaystyle{ f\colon B\rightarrow A}\)".

Wtedy obraz funkcji wprost z definicji ma moc mniejszą bądź równą mocy dziedziny.
Równoważność tej definicji z następującą

"istnieje iniekcja \(\displaystyle{ g\colon A\rightarrow B}\)"

wymaga pewnika wyboru również dla zbiorów przeliczalnych. Twój dowód (nie używający pewnika wyboru) to de facto dowód przechodniości "relacji" posiadania mniejszej mocy przy przyjętej pierwszej definicji.

Miejmy też na uwadze, że zapis \(\displaystyle{ |A|\leq|B|}\) formalnie jest możliwy tylko z pewnikiem wyboru, bo tylko wtedy każdy zbiór jest równoliczny z dokładnie jedną liczbą kardynalną. Dlatego celowo tego symbolu nie użyłem i pozwoliłem sobie na pewne nadużycie używając słowa "moc" bez pewnika wyboru.

[Jan Kraszewski]

Miejmy też na uwadze, że zapis \(\displaystyle{ |A|\leq|B|}\) formalnie jest możliwy tylko z pewnikiem wyboru,

To oczywiście zależy od tego, jakie znaczenie nadamy temu zapisowi. Np. ja definiuję go tak:

\(\displaystyle{ |A|\le|B| \Leftrightarrow (\exists C\subseteq B)A\sim C.}\)

JK