Spójność i łukowa spójność

[krasnoludek10]

Niebieskie chyba z Engelkinga, czerwone to tak jak ja to rozumiem (w końcu przestrzenie muszą być homeomorficzne, aby zachodziło zdanie niebieskie, przynajmniej według mnie). Ale przez co? No przez homeomorfizm chyba?

[Jan Kraszewski]

Niebieskie chyba z Engelkinga, czerwone to tak jak ja to rozumiem (w końcu przestrzenie muszą być homeomorficzne, aby zachodziło zdanie niebieskie, przynajmniej według mnie).

Nieprawda. Jeżeli własność jest zachowywana przez przekształcenia ciągłe, to jest zachowywana przez homeomorfizmy, ale to tylko implikacja, a nie równoważność.

JK

[krasnoludek10]

Def. 3. Mówimy, że własność \(\displaystyle{ w}\) jest niezmiennikiem przekształceń ciągłych z klasy \(\displaystyle{ P}\), jeśli przekształcenia z \(\displaystyle{ P}\) zachowują własność \(\displaystyle{ w}\), tj. jeśli dla każdego \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y \in P}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ w}\), to \(\displaystyle{ Y}\) też. Inaczej mówiąc, jest to własność, która jest zachowywana przy homeomorfizmach.

Zdanie niebieskie mówi coś innego niż czerwone. Skąd pochodzi ta definicja?

Jak najprościej udowodnić, że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego jest otwarty/domknięty?

Ale przez co?

No to ja już nie wiem jak odpowiedzieć na pytanie "Ale przez co?"... Po prostu przez przekształcenia ciągłe, niekoniecznie muszą być homeomorfizmami?

[Jan Kraszewski]

No to ja już nie wiem jak odpowiedzieć na pytanie "Ale przez co?"...

Matematyka wymaga staranności - to nie my mamy się domyślać, co miałeś na myśli, tylko Ty powinieneś to napisać. Skoro mówisz o przeciwobrazie zbioru (otwartego bądź domkniętego) przez funkcję, to należy dodać, jaką funkcję masz na myśli. Pytanie "A przez co?" to skrócona wersja pytania "A przez jaką funkcję ma być ten przeciwobraz?".

Po prostu przez przekształcenia ciągłe, niekoniecznie muszą być homeomorfizmami?

To jest odpowiedź na poprzednie pytanie?

Jeżeli tak, to odpowiedź brzmi: tego się nie udowadnia, to jest definicja - funkcja ciągła to z definicji taka funkcja, że przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez nią jest otwarty. Pokazanie, że zastępując zbiór otwarty zbiorem domkniętym dostajesz warunek równoważny definicji to elementarny rachunek na zbiorach wykorzystujący podstawowe własności przeciwobrazów.

JK

[krasnoludek10]

W takim razie zapraszam również tutaj: viewtopic.php?p=5668244#p5668244. Razem z kolegą zastanawiamy się, czy można uogólnić zachowanie jakiegokolwiek rodzaju wymiaru (przynajmniej z tych podstawowych) przy przekształceniach ciągłych na jakiekolwiek przestrzenie topologiczne, czy tylko na metryczne ośrodkowe (ja przynajmniej tak to rozumiem).

Dodano po 4 godzinach 2 minutach 13 sekundach:
PS. Czy obraz zbioru otwartego/domkniętego przez przekształcenie ciągłe jest otwarty/domknięty? Czy obraz zbioru otwartego/domkniętego przez homeomorfizm jest otwarty/domknięty? Dlaczego?

[Jan Kraszewski]

PS. Czy obraz zbioru otwartego/domkniętego przez przekształcenie ciągłe jest otwarty/domknięty?

Niekoniecznie.

Czy obraz zbioru otwartego/domkniętego przez homeomorfizm jest otwarty/domknięty? Dlaczego?

Tak, wprost z definicji homeomorfizmu: fakt, że funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest ciągła oznacza dokładnie to samo, że on sam jest odwzorowaniem otwartym, czyli zbiory otwarte/domknięte przeprowadza na zbiory otwarte/domknięte.

JK

PS
Po "PS" nie stawiamy kropki.

[krasnoludek10]

Tak, to łatwo udowodnić, obraz zbioru przeliczalnego gęstego będzie przeliczalny gęsty.

JK

Ale jest tak tylko w przypadku homeomorfizmów? Czy wszystkich przekształceń ciągłych?

Dodano po 6 godzinach 47 minutach 15 sekundach:
Skoro mówimy o obrazie, to chyba wszystkich przekształceń ciągłych, ale nie wiem czy dobrze rozumuję... Czy obraz przestrzeni łukowo spójnej musi być łukowo spójny??? No, według mnie nie, bo mówimy tam o homeomorfizmie, ale też nie jestem pewien...

[Jan Kraszewski]

Tak, to łatwo udowodnić, obraz zbioru przeliczalnego gęstego będzie przeliczalny gęsty.

Ale jest tak tylko w przypadku homeomorfizmów?

Nie.

Czy wszystkich przekształceń ciągłych?
Skoro mówimy o obrazie, to chyba wszystkich przekształceń ciągłych, ale nie wiem czy dobrze rozumuję...

A co powiesz o \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR, f(x)=0}\) i \(\displaystyle{ f[\QQ]}\) ?

Czy obraz przestrzeni łukowo spójnej musi być łukowo spójny???

Ale obraz przez co?

JK

[krasnoludek10]

Czy obraz przestrzeni łukowo spójnej musi być łukowo spójny???

Ale obraz przez co?

JK

Pardon, zagapiłem się. Rzecz jasna przez przekształcenie ciągłe - dowolne, niekoniecznie będące homeomorfizmem

Dodano po 32 minutach 24 sekundach:

A co powiesz o \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR, f(x)=0}\) i \(\displaystyle{ f[\QQ]}\) ?

Mam to traktować jako jeden przykład czy jak?

[Jan Kraszewski]

Mam to traktować jako jeden przykład czy jak?

A ile widzisz tu funkcji?

Jest to przykład funkcji niewątpliwie ciągłej i zachęcam Cię do zastanowienia się, czy obraz zbioru przeliczalnego i gęstego \(\displaystyle{ \QQ}\) jest przeliczalny gęsty...

Dodano po 7 minutach 33 sekundach:

Czy obraz przestrzeni łukowo spójnej musi być łukowo spójny???

Pardon, zagapiłem się. Rzecz jasna przez przekształcenie ciągłe - dowolne, niekoniecznie będące homeomorfizmem

Obraz przestrzeni łukowo spójnej przez przekształcenie ciągłe nie musi być przestrzenią łukowo spójną: https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space#Arc_connectedness.

[krasnoludek10]

Czyli dobrze myślałem jeśli chodzi o łukową spójność, dziękuję

A ile widzisz tu funkcji?

No moim zdaniem właśnie jest jedna, ale mogę się mylić, w końcu jestem tylko człowiekiem. Pierwszy człon to dziedzina i przeciwdziedzina/zbiór wartości, czyli z jakiego zbioru w jaki idzie funkcja, drugi to wzór na tę funkcję, a trzeci - tu już podejrzewam nikt nie powinien mieć wątpliwości, więc i ja - od samego początku wiedziałem, że tutaj \(\displaystyle{ f}\) oznacza obraz.

[Jan Kraszewski]

No moim zdaniem właśnie jest jedna, ale mogę się mylić, w końcu jestem tylko człowiekiem.

Ech, to była lekka ironia...

Pierwszy człon to dziedzina i przeciwdziedzina/zbiór wartości, czyli z jakiego zbioru w jaki idzie funkcja, drugi to wzór na tę funkcję, a trzeci - tu już podejrzewam nikt nie powinien mieć wątpliwości, więc i ja - od samego początku wiedziałem, że tutaj \(\displaystyle{ f}\) oznacza obraz.

Zasadniczo tak, tylko nie "przeciwdziedzina/zbiór wartości", bo to dwie różne rzeczy, a \(\displaystyle{ f}\) nie oznacza obrazu (bo oznacza funkcję) - obrazem (zbioru liczb wymiernych) jest \(\displaystyle{ f[\QQ].}\)

Ale ważniejsze jest, co z tego przykładu wynika.

JK

[krasnoludek10]

Zasadniczo tak, tylko nie "przeciwdziedzina/zbiór wartości", bo to dwie różne rzeczy, a \(\displaystyle{ f}\) nie oznacza obrazu (bo oznacza funkcję) - obrazem (zbioru liczb wymiernych) jest \(\displaystyle{ f[\QQ].}\)

Ale ważniejsze jest, co z tego przykładu wynika.

JK

Okej, chyba przy okazji zrozumiałem różnicę między przeciwdziedziną a zbiorem wartości funkcji. W tym przypadku zbiorem wartości będzie \(\displaystyle{ \{0\}}\), natomiast przeciwdziedziną \(\displaystyle{ \RR}\). I ważny fakt - zbiór wartości ZAWSZE musi być zawarty w przeciwdziedzinie. No, ale wróćmy do tego o co pytasz. Ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), czyli wykresem będzie oś \(\displaystyle{ OX}\). Wiemy także, że \(\displaystyle{ \QQ \subset \RR}\) i stąd moim zdaniem \(\displaystyle{ f[\QQ] = \{0\}}\). Oczywiście jest to zbiór przeliczalny, bo jest niewątpliwie skończony. Pozostaje pytanie czy gęsty, czyli czy jego domknięcie jest całą przestrzenią. Domknięciem \(\displaystyle{ \QQ}\) wówczas jest \(\displaystyle{ \QQ \setminus \{0\}}\). Tyle na razie udało mi się wymyślić, ale nawet nie wiem czy dobrze rozumuję...

[Jan Kraszewski]

Ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), czyli wykresem będzie oś \(\displaystyle{ OX}\). Wiemy także, że \(\displaystyle{ \QQ \subset \RR}\) i stąd moim zdaniem \(\displaystyle{ f[\QQ] = \{0\}}\). Oczywiście jest to zbiór przeliczalny, bo jest niewątpliwie skończony.

OK.

Pozostaje pytanie czy gęsty, czyli czy jego domknięcie jest całą przestrzenią. Domknięciem \(\displaystyle{ \QQ}\) wówczas jest \(\displaystyle{ \QQ \setminus \{0\}}\). Tyle na razie udało mi się wymyślić, ale nawet nie wiem czy dobrze rozumuję...

Rozumujesz bez związku (i bez sensu). W jaki sposób domknięcie jakiegokolwiek zbioru może być jego właściwym podzbiorem?! Pozajączkowało Ci się domknięcie z dopełnieniem.

Przypominam, że stwierdzenie, od którego zaczęliśmy, brzmiało "obraz zbioru przeliczalnego gęstego będzie przeliczalny gęsty" w odniesieniu do homeomorfizmu pomiędzy przestrzeniami \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Zadałeś pytanie "Ale jest tak tylko w przypadku homeomorfizmów? Czy wszystkich przekształceń ciągłych?", co ja zinterpretowałem jako pytanie "Czy jeśli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) jest ciągła i zbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ f[A]}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ Y}\)?" i podałem Ci trywialny kontrprzykład (bo zastanawiasz się, czy zbiór \(\displaystyle{ f[\QQ] = \{0\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ \RR}\)...).

Natomiast jeśli zinterpretujemy Twoje pytanie inaczej, jako "Czy ciągły obraz przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową?", to odpowiedź jest pozytywna.

JK

[krasnoludek10]

Kurde, rzeczywiście. Bardzo przepraszam za ten trywialny błąd. Tak to jest jak się najpierw obcuje z literaturą a potem, po dość krótkiej przerwie (może z pół godziny), chce wrócić do matematyki, że się niejako buja w obłokach. A chyba z pięć razy czytałem definicję zbioru gęstego i żeby było śmieszniej za każdym razem widziałem tam "domknięcie" a nie "dopełnienie".

PS
W jednym z pytań zapomniałeś o przeliczalności - no chyba, że myślałeś, że jej tam nie ma.