Udowodniłem wczoraj dokładnie, że liczby rzeczywiste z przedziału domknięto-otwartego
\(\displaystyle{ \left[ 0,1\right),}\) takie liczby można rozwijać przy podstawie dwa, tzn. takie liczby mają rozwinięcia zero-jedynkowe. Stąd również wynika łatwo, że również dowolne liczby nieujemne mają rozwinięcia zero jedynkowe, bo mamy prosty fakt, że jeśli mamy liczbę nieujemną
\(\displaystyle{ x \ge 0}\), to można ją przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci
\(\displaystyle{ x=n+a}\), gdzie
\(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, a
\(\displaystyle{ a \in \left[ 0,1\right)}\)- jest to prosty fakt.
A dla liczb ujemnych mamy również rozwinięcia zero jedynkowe, bo mamy taki prosty fakt, że jeżeli mamy liczbę rzeczywistą ujemną (bądź zero), to można ją jednoznacznie przedstawić w postaci różnicy liczby całkowitej ujemnej (bądź zera) i liczby z przedziału
\(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\), a więc liczby ujemne też będą miały rozwinięcia zero-jedynkowe.
Przedstawię teraz dowód tego faktu.
Podajmy najpierw pewien
Lemat:
Lemat: Zbiór liczb rzeczywistych
\(\displaystyle{ \left( \RR, \le \right)}\), rozumiany jako zbiór przekrojów Dedekinda zbioru liczb wymiernych, jest uporządkowany w sposób
liniowy.
Przypominam, porządek na przekrojach Dedekinda, definiujemy jako:
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \le \left( C,D\right) \Longleftrightarrow A \subset C. }\)
Łatwo jest sprawdzić, że jest to relacja porządku.
Jest to również porządek liniowy, bo wiemy, z własności zbiorów liniowo uporządkowanych, że przekrój Dedekinda zbioru liniowo uporządkowanego, to para zbiorów, taka, że pierwszy zbiór pary jest niepustym i różnym od całego zbioru przedziałem początkowym, a drugi zbiór pary jest jego dopełnieniem- jest to prosta charakteryzacja; a w zbiorze liniowo uporządkowanym dla dwóch przedziałów początkowych jeden zawiera się w drugim- jest to prosty fakt; a zatem nasz porządek jest liniowy, to będzie dalej bardzo ważne.
Można też pokazać, że jest to porządek gęsty i ciągły.
Przypomnę może, mało kto to tłumaczy dobrze, że jeżeli mamy ciąg liczb rzeczywistych:
\(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \RR}\), to skończone sumy wyrazów tego ciągu od
\(\displaystyle{ i=0}\) do
\(\displaystyle{ k \in \NN}\) możemy zdefiniować w sposób indukcyjny (ale żeby pisać jedynie same wzory, bez ich objaśniania, to jest to dla mnie jakieś nie halo) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sum\limits_{i=0}^{0} a\left( i\right) = a_0; \\ \sum\limits_{i=0}^{k+1} a_i=\left( \sum\limits_{i=0}^{k} a_i \right)+a _{k+1}. \end{cases}}\) 
Możemy też zdefiniować potęgę
\(\displaystyle{ 2 ^{n}}\), dla dowolnego
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), w sposób indukcyjny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 ^{0}=1; \\ 2 ^{n+1}= 2 ^{n} \cdot 2. \end{cases} }\)
Przejdźmy do naszego problemu:
Niech
\(\displaystyle{ x \in \RR}\), będzie liczbą rzeczywistą, taką, że
\(\displaystyle{ 0 \le x<1.}\)
Wykażemy, że istnieje ciąg
\(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), taki, że dla ciągu
\(\displaystyle{ b:\NN \rightarrow \QQ}\), danego jako:
\(\displaystyle{ b _{k}= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} };}\)
istnieje supremum
\(\displaystyle{ \bigvee b_P}\) zbioru wyrazów tego ciągu w zbiorze liniowo uporządkowanym
\(\displaystyle{ \left( \RR, \le \right)}\), i jest ono równe tej danej liczbie rzeczywistej
\(\displaystyle{ x}\), tzn.
\(\displaystyle{ \bigvee \left( b_P\right) =x}\).
Ciąg
\(\displaystyle{ a}\) będzie wtedy rozwinięciem dwójkowym tej danej liczby
\(\displaystyle{ x}\); a więc jest to taki ciąg zero-jedynkowy, że ciąg kolejnych przybliżeń dolnych liczby
\(\displaystyle{ x}\), czyli ciąg:
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{2}; \frac{a_0}{2}+ \frac{a_1}{ 4}; \frac{a_0}{2}+ \frac{a_1}{4}+ \frac{a_2}{8};\ldots }\)
zbiega do tej danej liczby
\(\displaystyle{ x}\), a my to wyraziliśmy, mówiąc , że supremum zbioru wyrazów tego rosnącego (słabo) ciągu jest równe tej danej liczbie.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech
\(\displaystyle{ x \in \RR}\), będzie taką liczbą rzeczywistą, że:
\(\displaystyle{ 0 \le x<1}\).
Ciąg
\(\displaystyle{ a}\) definiujemy indukcyjnie:
Jeśli
\(\displaystyle{ 0 \le x<1/2}\), to definiujemy
\(\displaystyle{ a_0=0}\).
W przeciwnym przypadku tzn. (gdyż zbiór
\(\displaystyle{ \RR}\) jest liniowo uporządkowany), więc to oznacza, że:
\(\displaystyle{ 1>x \ge 1/2}\), wtedy definiujemy
\(\displaystyle{ a_0=1.}\)
Przypuśćmy, że zdefiniowany jest ciąg zero-jedynkowy do wyrazu
\(\displaystyle{ k \in \NN}\), tzn. załóżmy, że liczby
\(\displaystyle{ a_0,a_1, \ldots, a_k}\) są już określone.
Wtedy definiujemy:
\(\displaystyle{ a _{k+1}= \begin{cases}1,\hbox{ gdy } \left( \sum\limits_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{ 2 ^{k+2} } \le x; \\ a _{k+1}=0,\hbox{ w przeciwnym przypadku.} \end{cases} }\)
Z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję wynika, że istnieje dokładnie jeden ciąg
\(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\) tej postaci.
Definiujemy ciąg
\(\displaystyle{ b:\NN \rightarrow \QQ,}\) tak, jak w tezie twierdzenia, tzn.:
\(\displaystyle{ b\left( k\right)= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }.}\)
Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego
\(\displaystyle{ k}\) naturalnego mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \le x \le \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }\right) + \frac{1}{2 ^{k+1} } }\).
Dla
\(\displaystyle{ k=0}\), mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k=0} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }= \frac{a_0}{2^1}= \frac{a_0}{2}.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ 0 \le x<1/2}\), to z definicji indukcyjnej ciągi
\(\displaystyle{ a_n}\) wynika, że
\(\displaystyle{ a_0=0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ x \ge 0= \frac{0}{2}= \frac{a_0}{2} = \sum_{i=0}^{k=0} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }.}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ x \le \frac{1}{2}= 0+ \frac{1}{2}= \left( \sum_{i=0}^{k=0} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }\right) + \frac{1}{2 ^{k+1} }.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ x \ge 1/2}\), to
\(\displaystyle{ a_0=1.}\) Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k=0} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } = \frac{a_0}{2^1}= \frac{1}{2} \le x.}\)
I mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k=0} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } +\left( \frac{1}{2 ^{k+1}} \right)= \frac{1}{2}+ \frac{1}{2 ^{1} } = 1>x.}\)
Krok indukcyjny:
Niech
\(\displaystyle{ k \in \NN}\), i przypuśćmy, że obydwie nierówności zachodzą dla wszystkich
\(\displaystyle{ i}\) naturalnych
\(\displaystyle{ i \le k}\). Pokażemy, że te nierówności zachodzą również dla
\(\displaystyle{ k+1.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+2} } \le x}\), to z definicji indukcyjnej ciągu
\(\displaystyle{ a}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ a _{k+1}=1}\); a wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k+1} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } = \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right)+ \frac{a _{k+1} }{2 ^{k+2} } =\left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+2} } \le x}\),
co dowodzi pierwszej nierówności.
Aby pokazać drugą nierówność, przekształcamy:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{k+1} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+2} } = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }+ \frac{a _{k+1} }{ 2 ^{k+2} }+ \frac{1}{2 ^{k+2} }= \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{ 2 ^{k+2} } + \frac{1}{2 ^{k+2} } = \sum_{i=0}^{ k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } + \frac{2}{2 ^{k+2} } = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } + \frac{1}{2 ^{k+1} } \ge x,}\)
którą tą ostatnią nierówność otrzymujemy z założenia indukcyjnego. Kończy to dowód tej nierówności w tym przypadku.
Jeśli
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{ 2 ^{k+2} }> x}\), to
\(\displaystyle{ a _{k+1}=0}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k+1} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }+ \frac{a _{k+1} }{2 ^{k+2} }= }\)
co jest nie większe niż (na mocy założenia indukcyjnego), więc to jest mniejsze lub równe niż:
\(\displaystyle{ x+ \frac{0}{2 ^{k+2} }= x,}\)
co należało pokazać.
Aby pokazać drugą nierówność, to przekształcamy:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{k+1} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+2} } = \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } + \frac{a _{k+1} }{2 ^{k+2} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+2} } = \underbrace{\left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } + \frac{1}{2 _{k+2} } \right)}_{>x}+ \frac{a _{k+1} }{2 ^{k+2} } > x+ \frac{0}{2 ^{k+2} }= x.}\)
Krok indukcyjny został dowiedziony.
Zasada indukcji matematycznej dowodzi, że fakt jest prawdziwy dla każdego
\(\displaystyle{ k \in \NN}\).
Zauważmy, że zbiór
\(\displaystyle{ b_P \subset \QQ \subset \RR}\) jest ograniczony z góry, gdyż dla dowolnego
\(\displaystyle{ k}\) naturalnego, mamy :
\(\displaystyle{ b_k= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \le x,}\)
a więc ta dana liczba
\(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru
\(\displaystyle{ b_P}\), a zatem zbiór
\(\displaystyle{ B_p}\) jest ograniczony z góry.
A zatem zbiór
\(\displaystyle{ B_P}\) ma supremum. Pokażemy, że tym supremum jest ta nasza liczba
\(\displaystyle{ x}\).
Wiemy już, że liczba
\(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru
\(\displaystyle{ b_P}\). Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze takie ograniczenie górne.
Niech
\(\displaystyle{ y \in \RR}\) będzie ograniczeniem górnym zbioru
\(\displaystyle{ b_P.}\)
Niech:
\(\displaystyle{ S:= \lim_{ k\to +\infty } \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }.}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ y \ge b_k= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} }}\), dla każdego
\(\displaystyle{ k \in \NN,}\)
(bo liczba
\(\displaystyle{ y}\) jest ograniczeniem górnym zbioru
\(\displaystyle{ b_P}\) ), więc również (gdyż coraz dłuższe sumy częściowe będą coraz większe, tzn. ciąg
\(\displaystyle{ b_k}\) jest słabo rosnący), więc również :
\(\displaystyle{ y \ge S= \lim_{ k\to +\infty} \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }.}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ S= \lim_{ k\to +\infty} \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } = \left( \lim_{ k\to +\infty} \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }\right) +0= \lim_{ k\to +\infty } \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }+ \lim_{ k\to +\infty} \frac{1}{2 ^{k+1} } = \lim_{ k\to+\infty } \left[ \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }\right) + \frac{1}{2 ^{k+1} } \right].}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ x \le \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }\right) + \frac{1}{2 ^{k+1} } }\), dla każdego
\(\displaystyle{ k \in \NN}\),
więc również ( ponieważ dla coraz to większych
\(\displaystyle{ k}\), te wyrażenia będą coraz mniejsze ), więc również:
\(\displaystyle{ x \le \lim_{ k\to +\infty } \left[ \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} }\right) + \frac{1}{2 ^{k+1} } \right] = S \le y,}\)
czyli
\(\displaystyle{ x \le y}\);
otrzymujemy zatem, z dowolności wyboru liczby
\(\displaystyle{ y}\), że liczba
\(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru
\(\displaystyle{ b_P}\), a więc jest jego supremum:
\(\displaystyle{ x= \bigvee \left( b_P\right).\square}\) 
Wykażemy teraz, że takie rozwinięcie jest jednoznaczne.
Jeśli
\(\displaystyle{ x \in \RR}\), i
\(\displaystyle{ 0 \le x<1}\), to z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję wynika, że istnieje dokładnie jeden (a więc
tylko jeden) ciąg
\(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\), spełniający warunki indukcyjne definiowane w powyższym dowodzie. Dla niego spełnione są również dalsze warunki, a więc jest on rozwinięciem dwójowym liczby
\(\displaystyle{ x.}\)
Niemniej, praktycznie jednak możliwe są dwa rozwinięcia np.
\(\displaystyle{ \left( 1,0,0,0,\ldots\right) \rightarrow \frac{1}{2}}\) i
\(\displaystyle{ \left( 0,1,1,1,\ldots\right) \rightarrow \frac{1}{2} .}\)
Wykażemy, że rozwinięcie uzyskane przy pomocy naszego twierdzenia (które jest
dokładnie jedno) ma tą własność, że nie mogą w tym rozwinięciu od pewnego miejsca występować same jedynki. Tzn. wykażemy, że:
Dla liczby
\(\displaystyle{ x \in \RR}\), takiej, że
\(\displaystyle{ 0 \le x<1,}\) i dla uzyskanego dla niej rozwinięcia
\(\displaystyle{ a _{x}}\) mamy, że z każdym numerem
\(\displaystyle{ k \in \NN}\) jest dalszy wyraz ciągu równy
\(\displaystyle{ 0}\), tzn. istnieje
\(\displaystyle{ n \in \NN}\),
\(\displaystyle{ n>k}\) takie, że
\(\displaystyle{ a_n=0.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest.
Wtedy istnieje
\(\displaystyle{ k \in \NN}\), takie, że nie ma
\(\displaystyle{ n}\) naturalnych
\(\displaystyle{ n>k}\), takich, że
\(\displaystyle{ a_n=0}\), a zatem dla każdego
\(\displaystyle{ n>k}\), mamy
\(\displaystyle{ a_n=1}\) (
\(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\) ).
Niech
\(\displaystyle{ k}\) będzie najmniejszą taką liczbą naturalną. A zatem
\(\displaystyle{ a_k=0,}\) i wszystkie późniejsze wyrazy ciągu są równe
\(\displaystyle{ 1}\), tzn.:
\(\displaystyle{ a_i=1}\), dla
\(\displaystyle{ i>k.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ k=0}\), to mamy rozwinięcie
\(\displaystyle{ \left( 0,1,1,1,\ldots\right)}\), a wtedy:
\(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+\ldots= \frac{1}{2}}\),
więc z definicji indukcyjnej tego ciągu rozwinięcia otrzymujemy
\(\displaystyle{ a_0=1}\), a
\(\displaystyle{ a_k= a_0=0}\)- sprzeczność.
Jeśli
\(\displaystyle{ k \neq 0}\), to
\(\displaystyle{ \left( k-1\right) \in \NN. }\)
Wtedy możemy nieformalnie powiedzieć, że suma szeregu
\(\displaystyle{ \left( a_0, a_1,\ldots, a_{k-1}, 0,1,1,1,\ldots\right)}\) zbiega do liczby
\(\displaystyle{ x}\).
Ponieważ liczba
\(\displaystyle{ x}\) jest supremum zbioru wartości odpowiednich sum częściowych szeregu, więc również:
\(\displaystyle{ x \ge \sum_{i \in \NN} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } = \left( \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right) + \sum_{i=k+1}^{+ \infty } \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } = \left( \sum_{i=0}^{k-1} \frac{a_i}{2 ^{i+1} } \right)+ \left( \frac{a_k=0}{ 2 ^{i+1} }\right) + \sum_{k}^{+ \infty } \frac{1}{2 ^{k+2} } = \left( \sum_{i=0}^{k-1} \frac{a_i}{ 2 ^{i+1} } \right) + \frac{1}{2 ^{k+1} } \le x.
}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \left( k-1\right) \in \NN}\), więc z definicji indukcyjnej rozwinięcia
\(\displaystyle{ a}\) otrzymujemy,
\(\displaystyle{ a_k=1}\), a
\(\displaystyle{ a_k=0}\)- sprzeczność.
\(\displaystyle{ \square}\)
Wobec czego nie jest możliwe aby rozwinięcie od pewnego miejsca byłoby stale równy
\(\displaystyle{ 1}\), a zatem (na mocy badań tego wątku) każda liczba
\(\displaystyle{ x \in \left[ 0,1\right)}\) ma dokładnie jedno rozwinięcie dwójkowe.
\(\displaystyle{ \square}\)
I każda liczba nieujemna
\(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie jedno rozwinięcie dwójkowe, gdyż ma ona jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy
\(\displaystyle{ x=n+a}\), gdzie
\(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, a
\(\displaystyle{ a \in \left[ 0,1\right)}\)- jest to prosty fakt, i ponieważ mamy algorytm zapisywania liczby naturalnej w systemie dwójkowym, więc stąd (oraz z poprzedniego twierdzenia) wynika ten fakt.
I każda liczba ujemna
\(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie jedno rozwinięcie dwójkowe, gdyż mamy prosty fakt, że taką liczbę można ją jednoznacznie zapisać w postaci różnicy
\(\displaystyle{ x= n-a}\), gdzie
\(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą ujemną bądź zerem, a
\(\displaystyle{ a \in \left[ 0,1\right)}\), i stąd, w podobny sposób, wynika ten fakt.
Jako przykład zastosowania tego twierdzenia wykażemy, że zbiór
\(\displaystyle{ \left( 2= \left\{ 0,1\right\} \right) ^{\NN}\sim \RR }\) jest mocy continuum.
Podajmy najpierw pewien
Lemat.
Lemat: Istnieje bijekcja pomiędzy zbiorem:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR: \ 0 \le x<1\right\},}\)
a zbiorem ciągów:
\(\displaystyle{ \mathbb{B } =\left\{ f \in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}: \ \bigwedge\limits_{k \in \NN} \bigvee \limits_{n \in \NN, n>k} a_n=0 \right\} ,}\)
czyli chodzi o zbiór tych ciągów zero-jedynkowych, że z każdym numerem
\(\displaystyle{ k \in \NN}\) jest dalszy wyraz ciągu równy
\(\displaystyle{ 0}\), a więc jest to zbiór ciągów w których zera występują dowolnie daleko.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Liczbie rzeczywistej
\(\displaystyle{ x}\) przypisujemy jej rozwinięcie dwójkowe
\(\displaystyle{ a_x,}\) zgodnie z naszą konstrukcją.
Więc jest to pewnego rodzaju ciąg zero-jedynkowy, i rzeczywiście pokazaliśmy, że zera w takich ciągach występują dowolnie daleko, a więc
\(\displaystyle{ a_x \in \mathbb{B}}\). Wykazaliśmy, że takie rozwinięcie jest dokładnie jedno ( chodzi o to rozwinięcie zgodne z naszą konstrukcją), i w ten sposób otrzymujemy funkcję
\(\displaystyle{ \alpha}\) działającą w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x \in \left[ 0,1\right)\stackrel{ \alpha } { \rightarrow } a_x \in \mathbb{B},}\)
Wykażemy, że funkcja
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
SPRYTNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech
\(\displaystyle{ x,y \in \left[ 0,1\right)}\) będą różnymi liczbami. Ich ciągi rozwinięć nazwijmy odpowiednio jako
\(\displaystyle{ a_x, a_y}\), a ciągi ich sum częściowych, czyli ciągi przybliżeń dolnych tych liczb, nazwijmy jako
\(\displaystyle{ b_x}\) i
\(\displaystyle{ b_y}\). Ciągi
\(\displaystyle{ b_x}\) i
\(\displaystyle{ b_y}\) wyznaczają liczby
\(\displaystyle{ x}\) i
\(\displaystyle{ y}\). Ciągi
\(\displaystyle{ b_x}\) i
\(\displaystyle{ b_y}\) muszą być różne, bo w przeciwnym razie wyznaczałyby te same liczby, a
\(\displaystyle{ x \neq y}\)- sprzeczność. A zatem ciągi
\(\displaystyle{ b_x}\) i
\(\displaystyle{ b_y}\) są różne, więc ciągi
\(\displaystyle{ a_x}\) i
\(\displaystyle{ a_y}\) też są różne, bo gdybyśmy mieli ten sam ciąg
\(\displaystyle{ a}\), to od razu mielibyśmy jednoznacznie zdefiniowany (tak jak w tezie twierdzenia o istnieniu rozwinięcia dwójkowego ) ciąg
\(\displaystyle{ b}\), a
\(\displaystyle{ b _{x} \neq b_y}\) - sprzeczność. A zatem ciągi
\(\displaystyle{ a_x}\) i
\(\displaystyle{ a_y}\) muszą być różne.
\(\displaystyle{ \square }\)
Jednak nie pokaże tego, że
\(\displaystyle{ 2 ^{\NN}}\) jest mocy continuum, gdyż musiałbym wiedzieć, jak pokazać, że ta funkcja
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Na koniec dodam jeden prosty fakt wyczytany ze "Wstępu do teorii mnogości i topologii " Wacława Sierpińskiego, str. 18:
Zbiór liczb naturalnych dodatnich przedstawić jako suma przeliczalnego ciągu zbiorów przeliczalnych rozłącznych.
ROZWIĄZANIE:
Niech:
\(\displaystyle{ M=\left\{ 1,3, 5,7,\ldots\right\}}\) będzie zbiorem liczb nieparzystych,
a
\(\displaystyle{ 2\NN}\) niech będzie zbiorem liczb parzystych.
Wtedy:
\(\displaystyle{ \NN_+= \bigcup_{n \in \NN} Z_n,}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ Z_n=\left\{ 2 ^{n} \cdot m\Bigl| \ \ m \in M \right\}.}\)
Czyli:
Jako
\(\displaystyle{ Z_0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ Z_0=\left\{ 2 ^{0} \cdot m\Bigl| \ \ m \in M \right\} = \left\{ m\Bigl| \ m \in M\right\} =M}\),
czyli otrzymujemy ten zbiór liczb nieparzystych
\(\displaystyle{ M.}\)
Pozostają zatem do pokrycia wszystkie liczby parzyste.
Jako
\(\displaystyle{ Z_1}\) bierzemy dwukrotności liczb nieparzystych, czyli
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1, 2 \cdot 3, 2 \cdot 5,\ldots}\)
Pozostają zatem do pokrycia dwukrotności liczb parzystych; ale liczby parzyste są dokładnie postaci
\(\displaystyle{ 2n}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), a zatem pozostają liczby postaci
\(\displaystyle{ 4n}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in\NN}\). Jako
\(\displaystyle{ Z_2}\) bierzemy tutaj czterokrotności liczb nieparzystych; pozostają zatem do pokrycia czterokrotności liczb parzystych, czyli liczby postaci
\(\displaystyle{ 4 \cdot \left( 2n\right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\), czyli liczby postaci
\(\displaystyle{ 8n}\), gdzie
\(\displaystyle{ n \in \NN}\); i potem jako
\(\displaystyle{ Z_3}\), znowu bierzemy ośmiokrotności liczb nieparzystych, itd. ... i wtedy:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} Z_n= \NN_+.}\)
gdzie zbiory
\(\displaystyle{ Z_n}\) są rozłączne.
