a4karo pisze: ↑11 kwie 2020, o 09:15
To akutrat wynika prosto z faktu, że liczby dwójkowo wymierne, czyli liczby postaci `k/2^n, k=1,...,2^n-1` leżą gęsto w odcinku `(0,1)`.
To jest jasne, ale jak ma mi to pomóc to nie wiem, chyba nie tędy droga.
Niech
\(\displaystyle{ x \in\left[ 0,1\right) }\). Przypuśćmy, że ma ona dwa różne rozwinięcia
\(\displaystyle{ a _{x},b _{x}.}\) Wtedy
\(\displaystyle{ a,b :\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\) , mamy
\(\displaystyle{ a \neq b}\), zatem istnieje
\(\displaystyle{ n}\) naturalne, takie że
\(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\) W takim razie jedna z tych wartości
\(\displaystyle{ a\left( n\right), b\left( n\right) }\) wynosi
\(\displaystyle{ 0}\), a druga
\(\displaystyle{ 1}\). Ze względu na symetrię przyjmijmy, że
\(\displaystyle{ a\left( n\right)=0, b \left( n\right)=1 }\), ponieważ wykluczyliśmy ciągi od pewnego miejsca stale równe
\(\displaystyle{ 1}\), więc dla numeru
\(\displaystyle{ m>n}\) w ciągu
\(\displaystyle{ b}\) pojawi się
\(\displaystyle{ 0}\).
Moze inaczej, niech
\(\displaystyle{ n}\) będzie najmniejszym numerem dla którego
\(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\) Ze względu na symetrię przyjmijmy, że
\(\displaystyle{ a \left( n\right)=0 }\),
\(\displaystyle{ b\left( n\right)=1.}\) Numer
\(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszy, gdzie
\(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right) , }\) zatem dla każdego numeru
\(\displaystyle{ m<n}\) mamy
\(\displaystyle{ a\left( m\right)=b\left( m\right). }\) Ponieważ wykluczyliśmy ciągi od pewnego miejsca stale równe
\(\displaystyle{ 1}\), więc istnieje numer
\(\displaystyle{ m>n}\), taki, że
\(\displaystyle{ b\left( m\right)=0}\). Jeśli powyzej numeru
\(\displaystyle{ n}\) ciąg
\(\displaystyle{ a}\) jest stale równy
\(\displaystyle{ 0}\), to
\(\displaystyle{ \lim_n a\left( n\right) < \lim_n b \left( n\right), }\) a więc te granice są różne, a ponieważ są to rozwinięcia tej samej liczby rzeczywistej
\(\displaystyle{ x}\), więc obydwie te granice powinny wynosić
\(\displaystyle{ x}\)- sprzeczność.
W pozostałym przypadku, istnieje numer
\(\displaystyle{ k>n}\), taki, że
\(\displaystyle{ a\left( k\right)=1}\). Niech
\(\displaystyle{ k}\) będzie najmniejszą taką liczbą naturalną. I, nie wiem...
Trzeba będzie jakoś rozdzielić te dwa rozwinięcia, i dojść do sprzeczności, że to jest rozwinięcie tej samej liczby
\(\displaystyle{ x}\), ale na razie już się poddaje.
![:|](./images/smilies/icon_neutral.gif)