[Rozgrzewka przed maturą II] Zadania różne

[RCCK]

Ukryta treść:    

Kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczam kolejno \(\displaystyle{ 2\alpha}\) i \(\displaystyle{ 2 \beta}\).
Z rysunku od razu widać, że musi być \(\displaystyle{ \alpha + \beta + 135^{\circ}=180^{\circ}}\) (inaczej musiałoby być \(\displaystyle{ \alpha + \beta + 45^{\circ}=180^{\circ}}\), co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ \alpha + \beta < 90^{\circ}}\))
Z tego mamy \(\displaystyle{ 2\alpha + 2\beta=90^{\circ}}\), czyli trójkąt jest prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).
\(\displaystyle{ AB= \sqrt{2^2+6^2} =2 \sqrt{10}}\)
Środkową można na różne sposoby. Zauważyć, że jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie i ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej, albo np. z tw. cosinusów.
Odpowiedź to \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\)

Odcinek \(\displaystyle{ AS}\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AB |+ |AC | > 2|AS |}\).

[Hayran]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ D}\) oznacz punkt symetryczny do \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ S}\). Wówczas nierówność trójkąta \(\displaystyle{ AB+BD>AD}\) jest równoważna tezie.

Niech ktoś coś doda, bo zaraz egzamin

[loitzl9006]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których okręgi o równaniach \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-m)^2=m^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x+m)^2+(y-2)^2=4}\) są styczne zewnętrznie.

[mint18]

loitzl9006:    

Odległość pomiędzy środkami okręgów powinna być równa sumie długości ich promieni czyli \(\displaystyle{ \sqrt{(2+m)^2+(m-2)^2} = |m|+2}\) i stąd \(\displaystyle{ m\in\left\{ -2, 2\right\}}\).

Temat w końcu maturalny więc:
Zakoduj trzecią, piątą i pierwszą cyfrę (w tej kolejności) wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 1^2-2^2-3^2+4^2+5^2-6^2-7^2+8^2+9^2-...+2017^2}\).

Ukryta treść:    

Raczej nie powinna się zdarzyć prośba o takie dziwne kodowanie, ale kto ich tam wie, lepiej dwa razy przeczytać co oni od nas chcą

[pawel89]

Ukryta treść:    

Korzystam z :
\(\displaystyle{ n^{2}-(n+1)^2-(n+2)^{2}+(n+3)^{2}=4}\)
wobec tego suma wynosi:
\(\displaystyle{ 4*504+2017^2=4070305}\)
Odp to: 734

Jeżeli rozwiązanie jest poprawne proszę o zamieszczenie następnego zadania

[loitzl9006]

Punkt \(\displaystyle{ A=(x_A, y_A)}\) należy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g(x)=-x^3}\). Styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\) ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ P=\frac98}\). Wyznacz współrzędną \(\displaystyle{ x_A}\). Rozważ wszystkie przypadki (uwaga - liczby nie za ciekawe wychodzą)

[a4karo]

fajne, choć proste:    

Mamy \(\displaystyle{ f(a)=(a-b)(a-c), f(b)=(b-c)(b-a), f(c)=(c-a)(c-b)}\)
Zatem \(\displaystyle{ f(a)f(b)f(c)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \le 0}\).
Ponadto
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca= \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \ge \\ \ge0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) parami różne, to nierówności są ostre, a więc dokładnie jedna spośród \(\displaystyle{ f(a),f(b),
f(c)}\) jest ujemna (nie mogą być wszystkie, bo suma jest dodatnia, a nie mogą być dokładnie dwie, bo iloczyn byłby dodatni). Stąd \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość dodatnią i przyjmuje wartość ujemną. Ale \(\displaystyle{ f}\) jest trójmianem kwadratowym, więc z tego wynika, że ma miejsce zerowe (na upartego można jeszcze z Darboux uzasadniać, powołując się na ciągłość funkcji wielomianowych).
Natomiast jeśli któreś z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są równe, to teza jest trywialna, bo któraś z \(\displaystyle{ f(a), f(b),
f(c)}\) (a nawet co najmniej dwie) jest równa zero.

To ja sobie pozwolę chyba jeszcze prosciej:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)}\) i teza wynika natychmiast z twierdzenia Rolle'a (gdy przynajmniej dwie z trzech liczb sa różne) albo z wyliczenia wartości \(\displaystyle{ f(a)}\) gdy \(\displaystyle{ a=b=c}\).

[mint18]

loitzl9006:    

Styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=-3x_A^2x+2x_A^3}\).
Obliczamy punkty wspólne stycznej i osi układu współrzędnych, i liczymy: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{2}{3}x_A \cdot 2x_A^3\right|=\frac{9}{8} \Rightarrow \pm x_A=\frac{\sqrt[4]{27} }{2}}\)

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 8 \cdot \cos x \cdot (\cos^4(2x)-\sin^4(2x))=\frac{1+\tg^2x}{1-\tg^2x}}\).

[a4karo]

mint18::    

Po uproszczeniu dostajemy
\(\displaystyle{ 8\cos x\cos 4x=\frac{1}{\cos 2x}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 8\cos x\cos 2x\cos 4x=1}\)
Możymy teraz przez \(\displaystyle{ \sin x}\) (stosując odpowiednie założenie) i dostajemy
\(\displaystyle{ 1=8\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x=4\sin 2x\cos 2x\cos 4x=2\sin 4x\cos 4x=\cos 8x}\)
Dalej już prosto, uwzględniając, że \(\displaystyle{ \sin x\cos 2x\neq 0}\)

W sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) wpisano kulę o średnicy \(\displaystyle{ 1}\), a następnie poprowadzono płaszczyznę styczną do tej kuli i prostopadłą do głównej przekątnej sześcianu. Obliczyć objętość czworościanu odciętego z sześcianu tą płaszczyzną.

[marcel0906]

Proszę o sprawdzenie wyniku

Ukryta treść:    

Obliczam wysokość ostrosłupa z podanej przekątnej i średnicy \(\displaystyle{ H= \frac{\sqrt{3} -1}{2}}\) Następnie zauważam, że podstawa na którą opuszczono \(\displaystyle{ H}\) jest trójkątem równobocznym. I dalej już prosto. Uzależniam długości krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) od krawędzi bocznych ostrosłupa \(\displaystyle{ b}\). Otrzymuję równanie \(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3} -1 }{2} \right) ^{2}
+\left( \frac{b \sqrt{6} }{3} \right) ^{2} = b ^{2}}\) I w efekcie \(\displaystyle{ V= \frac{9-5 \sqrt{3} }{8}}\)

Jeżeli to jet dobrze to
Obliczyć pole powierzchni trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ R}\), jeżeli wiadomo, że odległość stycznej do okręgu, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, od jednego z pozostałych wierzchołków tego trójkąta jest równa \(\displaystyle{ p}\).

[Hayran]

Ukryta treść:    

Oznaczenia: Trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ \trangle ABC}\) (styczna \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C}\)). \(\displaystyle{ D}\) - rzut prostokątny \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\) (Wówczas \(\displaystyle{ |BD|=p}\)). Niech ponadto \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), \(\displaystyle{ B'}\) - rzut prostokątny \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ OC}\). Przyjmijmy bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ \angle BAC\le\angle ABC}\), bo wtedy \(\displaystyle{ p\le R}\) i \(\displaystyle{ B'}\)leży na odcinku \(\displaystyle{ OC}\). Przejdźmy do właściwego rozwiązania. \(\displaystyle{ OB'=OC-CB'=R-p}\). Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość odcinka \(\displaystyle{ BB'}\): \(\displaystyle{ BB'=\sqrt{OB^2-OB'^2}=\sqrt{2Rp-p^2}}\). Zatem \(\displaystyle{ [BOC]=\frac{\sqrt{2Rp-p^2}\cdot R}{2}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ [BOC]=\frac{1}{2}\cdot [ABC]}\), to \(\displaystyle{ [ABC]=\sqrt{2Rp-p^2}\cdot R}\)

Dodaję podobne, lecz nieco trudniejsze zadanie:
Wykaż, że odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) okręgu od cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) tego okręgu jest średnią geometryczną odległości punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) od stycznej poprowadzonej w punkcie \(\displaystyle{ P}\)

[RCCK]

Ukryta treść:    

Oznaczmy odległości punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) od danej stycznej kolejno \(\displaystyle{ a}\)
i \(\displaystyle{ b}\), a odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od \(\displaystyle{ AB}\) jako \(\displaystyle{ x}\). Należy więc dowieść, że \(\displaystyle{ x^2=ab}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ AP=c}\) i \(\displaystyle{ BP=d}\). Dodatkowo rzuty punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na daną styczną oznaczmy \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\).
Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \angle ABP=\angle APA'}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BAP = \angle BPB'}\), co wynika z tego, że są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Z funkcji trygonometrycznych tych kątów otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{a}{c} = \frac{x}{d}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{d} = \frac{x}{c}}\), czyli \(\displaystyle{ x= \frac{ad}{c}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{bc}{d}}\). Mnożąc dwa ostatnie równania stronami otrzymujemy tezę.

Nie wiem skąd wziąć jakieś ciekawe zadania z geometrii, jak ktoś ma to proszę o dodanie za mnie.

[alfred0]

Realne zadanie z matury
Dwie przeciwległe , nawzajem skośne krawędzie czworościanu mają tę samą długość a, są wzajemnie prostopadłe i prostopadłe do odcinka o długości b, łączącego ich środki.
a) Oblicz objętość tego czworościanu.
b) Ile i jakich wielościanów nalezałoby dołożyć do danego czworościanu, by w wyniku sklejenia otrzymac graniastosłup prawidłowy czworokątny o wysokości b.

[marcel0906]

a)

Ukryta treść:    

Płaszczyzna zawierająca odcinek \(\displaystyle{ b}\) oraz prostopadła do \(\displaystyle{ a}\) to trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ b}\). Więc \(\displaystyle{ P _{podst}= \frac{a}{2} \sqrt{b ^{2} + \frac{a ^{2} }{4} }}\) Wysokość bryły otrzymuję z przyrównania dwóch wzorów na pole przekroju. \(\displaystyle{ \frac{ab}{2}= \frac{H}{2} \sqrt{b ^{2} + \frac{a ^{2} }{4} }}\) Z tąd już łatwo do wzoru na objętość. \(\displaystyle{ V= \frac{a ^{2} b }{6}}\)

Nie mam pojęcia czy moje rozwiązanie jest prawidłowe. Jeżeli ktoś ma ochotę to niech wrzuci następne zadanie. Jeżeli nie to wrzucę coś rano, no może w południe. Podpunkt b postaram się zrobić jutro, choć obawiam się, że mogę nie dać rady ze względu na błędne rozwiązanie a.

[Premislav]

Przepraszam, że się wtrącę jak Martin Schulz w sprawy wewnętrzne Polski, ale muszę sobie pozwolić na zacytowanie pewnej wypowiedzi, pozornie wyglądającej na niewąską impertynencję, a jednak w pewien sposób jakże prawdziwej:

Nie musisz nikogo pytać czy coś jest "poprawne" jeśli umiesz myśleć - jeśli nie wiesz czy coś jest poprawne to znaczy, że wymaga lepszego uzasadnienia.