[MIX] Zadania różne

[yorgin]

34:    

Część pierwsza jest łatwa.

\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\underbrace{\frac{1}{4^2}+\ldots+\frac{1}{4^2}}_{\times 8}}\)

Część druga to konsekwencja nierówności:

\(\displaystyle{ 0<\sum\limits_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}-1<\frac{10}{6}-1=\frac{2}{3}}\)

[Kartezjusz]

Kartezjusz, możesz rozpisać dokładniej jak dowodzisz, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\)

-- 6 września 2014, 13:33 --

już sobie sam poradziłem:    

\(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, więc istnieje \(\displaystyle{ a}\) takie, że \(\displaystyle{ f(a)=0}\). Wstawiamy \(\displaystyle{ x=y=a}\) i dostajemy \(\displaystyle{ f(2a)=0}\). Teraz kładziemy \(\displaystyle{ x=0, y=2a}\) i dostajemy \(\displaystyle{ f(f(0))=f(0)}\). W wyjściowej równości kładziemy \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=f(0)}\), porównujemy i dostajemy \(\displaystyle{ f(2f(0))=f(0)}\). Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ y=f(0)}\) oraz \(\displaystyle{ y=2f(0)}\), porównujemy i dostajemy \(\displaystyle{ f(4f(0))=f(0)}\). Podstawienie \(\displaystyle{ x=y=f(0)}\) daje równość \(\displaystyle{ f(4f(0))=2f(0)}\). Stąd \(\displaystyle{ f(0)=0}\).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(0)=c}\)
\(\displaystyle{ x=y=0.}\)
\(\displaystyle{ f(3c)=2c}\)
\(\displaystyle{ u=3c}\)
Czyli\(\displaystyle{ f(u)= \frac{2}{3}u}\)
\(\displaystyle{ x=y=u}\)
\(\displaystyle{ f(u+3f(u))=2f(2u)}\)
\(\displaystyle{ x=0;y=c}\)
\(\displaystyle{ f(2f(u))=f(2u)}\)
Rugujemy z obu równań \(\displaystyle{ f(2u)}\) i używamy "czyli"

[kerajs]

@ Premyslav (dotyczy zad 13)

Ukryta treść:    

Nie trzeba zgadywać. f(x) jest wielomianem, więc dobierając wielomiany o coraz wyższym stopniu można szukać spełniających warunki zadania. Dla \(\displaystyle{ f(x)=a}\) nie ma takiej funkcji, dla \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\) są dwie (podana w treści zadania i Twoja), a dla wyższych stopni nie ma rozwiązania tego stopnia ( wielomian redukuje się do dwóch rozwiązań liniowych)

22

Ukryta treść:    

To romb o boku 5 i przekątnych 8 i 6 ( pierwsza trójka spełniająca ( \(\displaystyle{ \frac{p}{2})^2+(\frac{q}{2})^2=a^2}\) )

[Premislav]

kerajs, a mógłbyś, proszę, udowodnić, że ta funkcja jest wielomianem? Bo w treści wcale nie ma takiego założenia, a dla mnie nie jest to oczywiste (pewnie jestem głupi, itd. ale wolę być głupi i wiedzieć niż być głupi i nie wiedzieć).

[timon92]

17:    

to zadanie jest nieprawdziwe, pewnie brakuje założenia o ciągłości \(\displaystyle{ f}\), poniżej konstruuję kontrprzykład

ponumerujmy liczby rzeczywiste, tzn. niech \(\displaystyle{ \mathbb R = \{x_\alpha \mid \alpha < \mathfrak c\}}\) przy czym \(\displaystyle{ x_0=0}\)

zdefiniujmy ciąg \(\displaystyle{ (y_\alpha)_{\alpha < \mathfrak c}}\) przez indukcję pozaskończoną o tak:

\(\displaystyle{ y_0 = 1}\),
\(\displaystyle{ y_\alpha = \left(x_\beta\left(\frac 12 - \frac{\sqrt 5}{10}\right) + \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1+\sqrt 5}4\right)^{n+1}+\left(x_\beta\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 5}{10}\right) - \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1-\sqrt 5}4\right)^{n+1}}\) jeśli istnieją \(\displaystyle{ \beta<\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\) takie, że \(\displaystyle{ x_\alpha=\left(x_\beta\left(\frac 12 - \frac{\sqrt 5}{10}\right) + \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1+\sqrt 5}4\right)^{n}+\left(x_\beta\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 5}{10}\right) - \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1-\sqrt 5}4\right)^{n}}\), a w przeciwnym przypadku kładziemy \(\displaystyle{ y_\alpha = x\neq 0}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \left(x_\beta\left(\frac 12 - \frac{\sqrt 5}{10}\right) + \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1+\sqrt 5}4\right)^{n}+\left(x_\beta\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 5}{10}\right) - \frac{2\sqrt 5}5 y_\beta\right)\left(\frac{1-\sqrt 5}4\right)^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ \beta < \alpha, n\in \mathbb N}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\) liczba \(\displaystyle{ \left(x_\alpha\left(\frac 12 - \frac{\sqrt 5}{10}\right) + \frac{2\sqrt 5}5 x\right)\left(\frac{1+\sqrt 5}4\right)^{n}+\left(x_\alpha\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 5}{10}\right) - \frac{2\sqrt 5}5 x\right)\left(\frac{1-\sqrt 5}4\right)^{n}}\) jest niezerowa

nietrudno przekonać się, że powyższa definicja jest poprawna (to gigantyczne wyrażenie nie zależy od wyboru \(\displaystyle{ \beta, n}\), a jeśli takie \(\displaystyle{ \beta,n}\) nie istnieją, to liczba liczb tamtej postaci jest ostro mniejsza niż \(\displaystyle{ \mathfrak c}\), a zatem można dobrać taki \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\))

zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f : \mathbb R \to \mathbb R}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x_\alpha) = y_\alpha}\), spełnia ona równanie \(\displaystyle{ 4f(f(x))=2f(x)+x}\), ale miejsca zerowego nie posiada

[mol_ksiazkowy]

ad 17 cd

Ukryta treść:    

ale bez ciagłosc niepotrzebna; gryxon to niemal zrobił :
\(\displaystyle{ a=f(0)}\) kladac \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=a}\) jest \(\displaystyle{ f(0)=0}\); niech \(\displaystyle{ f(b)=0}\) to \(\displaystyle{ x=b}\) i \(\displaystyle{ b=0}\)
zródło om Słowenia 95

[timon92]

masz oczywiście rację jeśli chodzi o zadanie 17

a tu macie

Kod: Zaznacz cały

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/UrquhartElementary.shtml

[Ponewor]

1.:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\frac{13}{10}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-\frac{13}{5} \sum_{i=1}^{5}x_{i}+ \sum_{i=1}^{5} \left(\frac{13}{10}\right)^{2}=10-\frac{91}{5}+5\cdot\frac{169}{100}=\frac{1}{4}}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{5} > \frac{9}{5}}\)
Wówczas jednak \(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \left(\frac{9}{5}-\frac{13}{10}\right)^{2} <\left(x_{5}-\frac{13}{10}\right)^{2} \le \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\frac{13}{10}\right)^{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ x_{5} \le \frac{9}{5}}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{13}{10}, \ \frac{13}{10}, \ \frac{13}{10}, \ \frac{13}{10}, \ \frac{9}{5}\right)}\) jest rozwiązaniem.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\frac{3}{2}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-3 \sum_{i=1}^{5}x_{i}+ \sum_{i=1}^{5} \left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10-21+5\cdot\frac{9}{4}=\frac{1}{4}}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{5} < 1}\)
Wówczas jednak \(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \left(1-\frac{3}{2}\right)^{2} <\left(x_{5}-\frac{3}{2}\right)^{2} \le \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\frac{3}{2}\right)^{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ x_{5} \ge 1}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}, \ \frac{3}{2}, \ \frac{3}{2}, \ \frac{3}{2}, \ 1\right)}\) jest rozwiązaniem.

Ostatecznie \(\displaystyle{ max \ x_{j}=\frac{9}{5}}\) i \(\displaystyle{ min \ x_{j}=1}\).

A to są, przy całym szacunku do ich autora, kompletne brednie:

ad.1

Ukryta treść:    

Coś chyba jest na rzeczy otóż, możemy potraktować równanie pierwsze jako równanie hiperpłaszczyzny
czterowymiarowej, a drugie równanie jako równanie sfery czterowymiarowej o promieniu:

\(\displaystyle{ R= \sqrt{10}}\) i środku w punkcie:

\(\displaystyle{ (0,0,0,0,0)}\)

odległość hiperpłaszczyzny od punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0,0)}\)
wynosi:

\(\displaystyle{ d= \frac{7}{ \sqrt{5} }}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ R=\sqrt{10}}\),

czyli punkty wspólne hiperpłaszczyzny i sfery dadzą sferę trójwymiarową o środku w punkcie

\(\displaystyle{ ( \frac{7}{5},\frac{7}{5},\frac{7}{5},\frac{7}{5},\frac{7}{5})}\)

i promieniu:

\(\displaystyle{ r^2=R^2-d^2= \frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

Widać, że maxymalna wartość będzie leżała najwyżej na tym okręgu a najmniejsza najniżej na tym okręgu. Niech kąt między ramionami trójkąta równoramiennego wynosi \(\displaystyle{ \varphi}\)

łatwo obliczyć, że:

\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{124}{125}}\)

niech teraz \(\displaystyle{ \frac{x_{\min}}{R}=\sin \alpha=\sin(45^0- \frac{\varphi}{2})= \frac{35- \sqrt{5} }{50}}\) ,

z tego:

\(\displaystyle{ x_{\min}= \frac{7 \sqrt{10}- \sqrt{2} }{10}}\)

podobnie:

\(\displaystyle{ \frac{x_{\max}}{R}=\sin\beta=\sin( \frac{\varphi}{2}+45^0)= \frac{35+ \sqrt{5} }{50}}\)

z tego:

\(\displaystyle{ x_{\max}= \frac{7 \sqrt{10}+ \sqrt{2} }{10}}\)

EDIT

34:    

\(\displaystyle{ 1=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\underbrace{\frac{1}{6^{2}}+\ldots + \frac{1}{6^{2}}}_{9}}\)

Dlaczego wszystkie mianowniki nie mogą być parami różne?
Ano dlatego, że z rozwiązania problemu bazylejskiego:
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{i^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1 < 1}\)
A jak ktoś nie umie rozwiązać problemu bazylejskiego, to może udowodnić zamiennie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}} \le 2-\frac{1}{n}}\)
z równością dla \(\displaystyle{ n=1}\).

[Kartezjusz]

Zadanie 12

Ukryta treść:    

I\(\displaystyle{ t = \sqrt{y} + \sqrt{z} - \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ u = \sqrt{z} + \sqrt{x} - \sqrt{y}}\)
\(\displaystyle{ w = \sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{z}}\)

Dodajmy te podstawienia parami i podzielmy podstawienia parami i podzielmy przez \(\displaystyle{ 2}\) wyrugujmy z nich \(\displaystyle{ \sqrt{x} , \sqrt{y} , \sqrt{z}}\)
Wstawiając do wyjściowego układu mamy
II.\(\displaystyle{ \frac{u+w}{2} t =a}\)
\(\displaystyle{ \frac{w+t}{2} u =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{u+t}{2} w =c}\)
Mnożymy obustronnie równania przez dwa dokonujemy mnożeń i podstawiamy
III.\(\displaystyle{ h=ut}\)
\(\displaystyle{ i=wt}\)
\(\displaystyle{ j=uw}\)
Wstawiamy do II. i mamy
\(\displaystyle{ h+i=2a}\)
\(\displaystyle{ h+j=2b}\)
\(\displaystyle{ i+j=2c}\)
Układ liniowy
\(\displaystyle{ i=a-b+c=q}\)
\(\displaystyle{ j=a-c+b=r}\)
\(\displaystyle{ h=a+b-c=s}\)
Wstawiamy podstawienia z III i mnożymy parami dwa równania i dzielimy przez trzecie niewykorzystane. Obustronnie pierwiastkujemy. Otrzymujemy
IV.\(\displaystyle{ u = \sqrt{ \frac{qs}{r} }}\)
\(\displaystyle{ w = \sqrt{ \frac{qr}{s} }}\)
\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{rs}{q} }}\)
Wracamy do I. Sumujemy stronami dzielimy przez \(\displaystyle{ 2}\) i podnosimy do kwadratu obustronnie.Dzięki związkom w IV mamy rozwiązanie w postaci ohydnych wyników.

Rozważamy osobno sytuację gdy jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest sumą dwóch pozostałych . Wtedy wychodzą rozwiązania z zerami, bo z równania pod trójką mamy na przykład, że \(\displaystyle{ h=0}\)
Zero w jednym z równań rozważamy osobno

.

[kerajs]

@ Premislav

Ukryta treść:    

Muszę Cię przeprosić bo przegapiłem Twój post z 8. 09.2014 który był do mnie skierowany.
Wielkie SORRY.

Ja założyłem że to wielomian, gdyż nie przychodziła mi do głowy (pewnie jestem za głupi aby ja wymyślić ) żadna inna funkcja; która złożona z sama sobą (nie pomijając -x ) ; jest wielomianem dla nieskończenie wielu argumentów. To nie dowód, ale i zadanie nie wymagało znalezienia wszystkich możliwych funkcji.

Przy okazji widzę że nieprecyzyjnie określiłem rozwiazanie które jest wielomianem
Rozwiązania to: \(\displaystyle{ y=2x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x+b; b \in \RR}\)

Fajnie że Kartezjusz napisał wczoraj rozwiązanie kolejnego zadania, gdyż dzięki temu mogłem naprawić moje przeoczenie.

[Kartezjusz]

zadanie 13
Jedną, czy wszystkie?
Zadanie 22
najmniejsze pole ma się rozumieć?

[mol_ksiazkowy]

zadanie 13
Jedną, czy wszystkie?

: jedna

Zadanie 22
najmniejsze pole ma się rozumieć?

nie inaczej

[Ponewor]

13.:    

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=-x}\)

[Kartezjusz]

Zadanie 22

Ukryta treść:    

Nasz romb może się składać z trójkątów pitagorejskich. Wtedy najmniejszy taki trójkąt jest egipski \(\displaystyle{ 3,4,5}\). Przekątne mają długość \(\displaystyle{ 8,6}\) i pole \(\displaystyle{ 24}\). Teraz ręcznie można sprawdzać wszystkie Pary przekątnych ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,3...,48\} \times \{ 1,2,3,4,5..,48 \}}\) odrzucając najpierw romby o polach większych niż\(\displaystyle{ 24}\), potem romby o nieparzystej sumie długości przekątnych (boki rombu nie będą całkowite ), kończąc na tych które dadzą niecałkowitą długość boku

[Premislav]

23.:    

\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{3}x}\) wydaje się OK.