przdmiot jest bardzo pasjonujący więc mam więcej przerw niż nauki
rozwiązanie:
niech N będzie naszą największą wspólną wielokrotnością. Oznaczmy \(\displaystyle{ A_i=(m_i,n_i)}\) i \(\displaystyle{ O=(0,0)}\). przedłużamy proste \(\displaystyle{ OA_i}\) do przecięcia z prostą \(\displaystyle{ y=N}\). dostajemy punkty kratowe o współrzędnych \(\displaystyle{ B_i=(m_i \cdot \frac{N}{n_i}, N)}\). z założenia że proste łączące punkty nie przechodzą przez \(\displaystyle{ O}\) mamy że \(\displaystyle{ B_i}\) są parami różne. wobec tego dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) mamy: \(\displaystyle{ \frac{N}{2} \ge m_i \cdot \frac{N}{n_i} \ge n}\).
równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ A_i=( \frac{i}{d_i}, \frac{2n}{d_i})}\) gdzie \(\displaystyle{ d_i}\) jest dowolnym dodatnim wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ 2n}\) i oczywiście we wszytskich sytuacjach symetrycznych