IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 17:12

współczuje :/ konkurs w plecy ... przepisz zadania z 2 poziomu ....

GRZECH · Post autor: **GRZECH** » 28 mar 2009, o 17:12

To czwarte to chyba źle zrobiłeś...

Skoro:
\(\displaystyle{ x-\frac{1}{x} = 4}\)
To:
\(\displaystyle{ (x-\frac{1}{x})^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}=4^2=16}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}=18}\)
\(\displaystyle{ (x^2+\frac{1}{x^2})^2=x^4 +2 + \frac{1}{x^4} = 18^2=324}\)
\(\displaystyle{ x^4 + \frac{1}{x^4} = 322}\)

kuba746 · Post autor: **kuba746** » 28 mar 2009, o 17:18

zad 1
Udowodnij że jeżeli a,b,c spełniają warunek \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc}\) to a=b=c

zad 2
drabina jest tak umieszczona między domami że jeżeli ją pochylić do jednego domu to sięga na wysokość 12 m a jeśli do drugiego to sięga na wysokość 9m. Oba położenia drabiny są wzajemnie prostopadłe. Oblicz długość drabiny i szerokość ulicy

zad 3
wykaż że liczba \(\displaystyle{ 63^{63}-43^{43}}\) jest podzielna przez 10

zad 4
W trójkącie o bokach długości a,b,c poprowadzono odcinki długości x,y,z styczne do okręgu wpisanego w ten trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków długości a,b,c. Wykaż że \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c}=1}\)

zad 5
Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ x^2+kx+2k-2=0}\) ma dwa pierwiastki z których jeden jest sinusem a drugi cosinusem tego samego kąta

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 17:30

1.
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac}\)
\(\displaystyle{ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2 +(a-c)^2+(b-c)^2=0}\)

\(\displaystyle{ a=b=c}\)

3. zbadac ostatnia cyfre tej liczby. i po sprawie. ew kong.

Psycho · Post autor: **Psycho** » 28 mar 2009, o 17:31

kuba746 pisze:w czwartym trzeba było przedłużyć odcinki x, y, z i powstawał podobny trójkąt a później to już prosto

Podobny, a nawet przystający

Co do zadań to 1,2,5 bardzo łatwe. 3 również poszło szybko z kongruencji. Najciekawsze 4.-- 28 marca 2009, 17:33 --Aha, i mam już swój wynik (30 pkt).

SykeS · Post autor: **SykeS** » 28 mar 2009, o 17:35

@kolanko, Elektronik ofc.

@GRZECH, no jasne Pisałem z pamięci, a to moja pierwsza styczność z Latexem i bardziej się skupiałem, żeby wszystkie klamry pozamykać ;P

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 17:40

SykeS , która klasa ? hetmanska 120 ? :> ja juz w 4 klasie i nie moglem brac udziału :/ heh ...

SykeS · Post autor: **SykeS** » 28 mar 2009, o 17:52

@kolanko, tak tak, Hetmańska 120, klasa II "j", Dawid Gaweł, ale już ciii, żeby nie offtopować ;P

Wracając do konkursu, nie jestem do końca zadowolony... Siedziałem 2,5h i zrobiłem zad 1, a jak wróciłem do internatu to po 10 minutach miałem gotowe zad 2 i zad 4. Ale co tam, liczy się zdobyta wiedza

Pozdro

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 17:57

1,2,3,5 zrobione, ale w 4 nie moge doszukac sie czemu 3x=a naprowadz mnie ktos widze same trójkąty podobne poradź ktos cos

Desmondo · Post autor: **Desmondo** » 28 mar 2009, o 17:59

kolanko pisze:Do ktorej szkoły chodzisz ? W zadaniu z trapezem wyszedl mi trapez prostokątny .... mam racje ?

\(\displaystyle{ 45^o,135^o,90^o,90^o}\)

Mi wyszło \(\displaystyle{ 36^o,72^o,108^o,144^o}\)

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 18:04

kurde zrobilem 2 razy i mi wyszlo raz jak Tobie raz jak mi ... gdzies cos piernicznąłem sie ..

Zygmunt Freud · Post autor: **Zygmunt Freud** » 28 mar 2009, o 18:10

kolanko, przedluz sobie odcinki x, y, z i otrzymasz trojkat o bokach a,b,c (dlaczego?), pozniej zauwaz ze pewne trzy odcinki maja miary x,y,z a potem rozpatrujac dowolny bok wyjsciowego trojkata przy pomocy twierdzenia talesa dojdziesz do rozwiazania
aha, ja nie doszedlem do tego ze 3x=a
aha' ten trojkat ktory bedziesz rozpatrywac nie musi byc wyjsciowy

Desmondo · Post autor: **Desmondo** » 28 mar 2009, o 18:13

kolanko pisze:kurde zrobilem 2 razy i mi wyszlo raz jak Tobie raz jak mi ... gdzies cos piernicznąłem sie ..

Mam nadzieję, że poprawna jest ta moja wersja. :p

kolanko · Post autor: **kolanko** » 28 mar 2009, o 18:15

Masz racje. dobrze CI wyszło
\(\displaystyle{ 36^o,72^o,108^o,144^o}\)

Widze swój bład ... narysowalem jeszcze raz i widze

mialem nabazgrane za bardzo .

-- 28 marca 2009, 18:18 --

Zygmunt Freud pisze:kolanko, przedluz sobie odcinki x, y, z i otrzymasz trojkat o bokach a,b,c (dlaczego?), pozniej zauwaz ze pewne trzy odcinki maja miary x,y,z a potem rozpatrujac dowolny bok wyjsciowego trojkata przy pomocy twierdzenia talesa dojdziesz do rozwiazania
aha, ja nie doszedlem do tego ze 3x=a
aha' ten trojkat ktory bedziesz rozpatrywac nie musi byc wyjsciowy

wiem wiem ze bedzie ten sam trójkąt. ma te same kąty i jest opisany na tym samym okręgu, juz doszedlem ze 3x=a , 3y=b, 3z=c. (zrobilem sobie równoległoboki

Zygmunt Freud · Post autor: **Zygmunt Freud** » 28 mar 2009, o 18:27

wiem wiem ze bedzie ten sam trójkąt. ma te same kąty i jest opisany na tym samym okręgu, juz doszedlem ze 3x=a , 3y=b, 3z=c. (zrobilem sobie równoległoboki

mozna precyzyjniej?