Matura z matematyki 2011 - poziom rozszerzony

[Mzz]

Na pewno jest 192080 w 9. Potwierdza to program sprawdzający zgodność z warunkami zadania wszystkich liczb całkowitych od 11111111 do 99999999.

Kod w C++:

Kod: Zaznacz cały

#include <cstdio>

main()
{
  unsigned long long a,b,c;
  
  c=0;
  for(a=11111111;a<100000000;a++)
  {
    char zera=0,dwojki=0,trojki=0;
    
    for(b=a;b>0;b/=10)
      if((b%10)==0) zera++;
      else if((b%10)==2) dwojki++;
      else if((b%10)==3) trojki++;
    
    if(zera==0 && dwojki==2 && trojki==3)
      printf("%llu
",++c);
  }
}

[krzaczastobrewy]

to ja sprobuje obalic wasz wynik 192080:
wybieramy kombinacje 3 z 8, poniewaz pozostale 5 jest zajete przez te 2 i 3 z tresci. Na tych trzech miejscach mamy 7 do potegi 3, poniewaz mamy 1,4,5,6,7,8,9. Czyli jak bierzemy 6,8,9 na te dokladnie trzy miejsca to mozemy ja ustawic na 6 roznych sposob, czyli 689, 698, 896, 869, 986, 968. Ze mamy potege to liczby moga sie powtarzac, wiec przyjmijmy ze wzielismy 1,1,1. Te jedynki ustawia sie w tych trzech miejscach rowniez na 6 sposobow, jednakze beda to te same liczby, wiec wg mnie wynik wyszedl za duzy. Co myslicie?

[dejvid11]

Mam pytanie,
czy zadanie numer 2, można rozwiązać w ten sposób ? :

\(\displaystyle{ \frac{a}{a-c} + \frac{b}{b-c} = 2}\)

Wymnażamy:

\(\displaystyle{ \frac{ab - ac + ab -bc}{(a-c)(b-c)} = 2}\)

\(\displaystyle{ 2ab - ac - bc = 2(a-c)(b-c)}\)

\(\displaystyle{ ac + bc = 2c ^{2}}\)

wiemy, że
\(\displaystyle{ a + b = 2c}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a = 2c - b}\)

więc:

\(\displaystyle{ (2c-b)c + bc = 2c ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2c ^{2} - bc + bc = 2c ^{2}

L = P}\)

[smigol]

Kuuuba, jeśli jest dobrze udowodnione to mogłeś to zrobić syntetycznie, analitycznie na wektorach, na liczbach zespolonych, czy co tam jeszcze sobie wymyślisz. aby było poprawnie.

[pyzol]

to ja sprobuje obalic wasz wynik 192080:
wybieramy kombinacje 3 z 8, poniewaz pozostale 5 jest zajete przez te 2 i 3 z tresci. Na tych trzech miejscach mamy 7 do potegi 3, poniewaz mamy 1,4,5,6,7,8,9. Czyli jak bierzemy 6,8,9 na te dokladnie trzy miejsca to mozemy ja ustawic na 6 roznych sposob, czyli 689, 698, 896, 869, 986, 968. Ze mamy potege to liczby moga sie powtarzac, wiec przyjmijmy ze wzielismy 1,1,1. Te jedynki ustawia sie w tych trzech miejscach rowniez na 6 sposobow, jednakze beda to te same liczby, wiec wg mnie wynik wyszedl za duzy. Co myslicie?

3 jedynki są na jeden sposób w wariancji z powtórzeniami.

[Mzz]

dejvid11 i inni: Zawsze wydawało mi się, że dowód przez kroki równoważne od tezy do oczywistości jest w porządku (ja jeszcze w takich dowodach dodaję "\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)" między krokami). Poprawcie mnie jeśli się mylę - ja tak właśnie przeprowadziłem dowód w drugim.

[kr0p]

Witam,
rozwiązanie 2 moje:
\(\displaystyle{ \frac{a}{a-c} + \frac{b}{b-c} = \frac{2c-b}{2c-b-c} + \frac{b}{b-c} = \frac{2c-b}{c-b} + \frac{b}{b-c} = \frac{2c-b}{c-b} + \frac{b}{-1(-b+c)} = \frac{2c-b}{c-b} + \frac{-b}{c-b} = \frac{2c-b}{c-b} + \frac{-b}{c-b} = \frac{2c-2b}{c-b} = \frac{2(c-b)}{(c-b)} = \frac{2}{1} = 2}\)

tak najprościej moim zdaniem.

[TonySnk]

Zgadzam się że w zadaniu z 8 cyfrową liczbą trzeba uwzględnić 111 na końcu, czyli niby 7 przypadków, ale też dla każdej liczby może być np 455 545 554 czyli jeszcze 7*3 ...

[Koxxx]

W 9 z pewnością 192080. Napisałem im komentarz z tytułem "chyba nie laliście", a w treści rozwiązanie. Nie dziwi Was chyba, że moderator nie dopuścił do opublikowania komentarza ?

[robocop1992]

krzaczastobrewy, ja to zrobiłem na totalną piechote, obliczyłem że te 3 i 2 mozna ustawic na 10 sposobów, a pozostałe 3 cyfry na 343 sposoby, następnie między sobą te liczby mozna pomieszać na 56 sposobów (liczyłem, bo zostało mi 20 minut xD)

[skupcio]

dejvid11 i inni: Zawsze wydawało mi się, że dowód przez kroki równoważne od tezy do oczywistości jest w porządku (ja jeszcze w takich dowodach dodaję "\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)" między krokami). Poprawcie mnie jeśli się mylę - ja tak właśnie przeprowadziłem dowód w drugim.

Zdaniem mojego korepetytora dowodzenie w takich zadaniach bez \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) co LINIJKĘ ! nie jest uznawane za kompletne rozwiązanie. Raz w jednym zadaniu tak miałem bez symbolu równoważności i dał mi 0 p. Choć może trochę mnie tylko uczulał bo egzaminatorzy są różni, a na przykład moja profesorka mówi że to zlewa bo to jest oczywiste, że to równoważne. Tak czy siak. Przezorny zawsze ubezpieczony

[krzaczastobrewy]

hmmm, kurde nie wiem: zrobilem tak jak wsyzscy mowia, ze \(\displaystyle{ 192080}\), ale pozniej mnie uderzylo z tymi jedynkami i wszystkimi cyframi ktore moga sie powtarzac.
Zrobilem ze: \(\displaystyle{ {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 10}\) (kazda inna) \(\displaystyle{ + {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 6\cdot 10}\) (dwie takie same, druga inna) \(\displaystyle{ + {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 10}\) (wsyzstkie takie same). Wychodzi \(\displaystyle{ 145040}\). Skoro te trzy jednyki w wariancjach z powtorzeniami i tak wystepuja tylko raz, to nie powinno mi wyjsc tak jak wam, czyli \(\displaystyle{ 192080}\)? Jesli nie, to prosilbym o wskazanie bledu

[kaczanga87]

Hmm, matura nie była moim zdaniem tak bardzo trudna w stosunku do lat poprzednich. Wasze zadania przerobiłem w 88%, a przeglądając inne arkusze wychodziło czasem gorzej. Kłopoty sprawiło mi zadanie z tą 8-cyfrową liczbą(kombinatryki za nic w świecie nie ogarniam , obym do następnego roku to zrozumiał ). Ewentualny wzrost poziomów rozszerzenia z matmy są pewnie wynikiem tego, że coraz więcej zdaję ją na maturze. Tak czy inaczej powodzenia na innych przedmiotach i życzę udanego wyniku z matmy w czerwcu

[Koxxx]

dejvid11 i inni: Zawsze wydawało mi się, że dowód przez kroki równoważne od tezy do oczywistości jest w porządku (ja jeszcze w takich dowodach dodaję "\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)" między krokami). Poprawcie mnie jeśli się mylę - ja tak właśnie przeprowadziłem dowód w drugim.

Zdaniem mojego korepetytora dowodzenie w takich zadaniach bez \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) co LINIJKĘ ! nie jest uznawane za kompletne rozwiązanie. Raz w jednym zadaniu tak miałem bez symbolu równoważności i dał mi 0 p. Choć może trochę mnie tylko uczulał bo egzaminatorzy są różni, a na przykład moja profesorka mówi że to zlewa bo to jest oczywiste, że to równoważne. Tak czy siak. Przezorny zawsze ubezpieczony

Właśnie miałem o tym pisać. Z tego co wiem, to NIE WOLNO wykorzystywać rzeczy, które mamy wykazać (w sensie całości i ciągle linia pod linią mieć przekształcane równanie). Także nie można było wziąć równania. Co najwyżej wziąć jedną stronę i tak przekształcać, aż wyjdzie 2. Jeśli ktoś chce się uprzeć na L = P to tylko w przypadku, gdy pod L damy równanie, z którego wyjdzie 2, pod P damy od razu 2 i po wyliczeniu przyrównamy.

[pyzol]

hmmm, kurde nie wiem: zrobilem tak jak wsyzscy mowia, ze \(\displaystyle{ 192080}\), ale pozniej mnie uderzylo z tymi jedynkami i wszystkimi cyframi ktore moga sie powtarzac.
Zrobilem ze: \(\displaystyle{ {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 10}\) (kazda inna) \(\displaystyle{ + {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 6\cdot 10}\) (dwie takie same, druga inna) \(\displaystyle{ + {8 \choose 3} \cdot 7\cdot 10}\) (wsyzstkie takie same). Wychodzi \(\displaystyle{ 145040}\). Skoro te trzy jednyki w wariancjach z powtorzeniami i tak wystepuja tylko raz, to nie powinno mi wyjsc tak jak wam, czyli \(\displaystyle{ 192080}\)? Jesli nie, to prosilbym o wskazanie bledu

Tak tylko nie uwzględniłeś pewnych układów dwie takie same i jedna inna, tzn tutaj masz 3 możliwości:
554,545,455.