[LX OM] I etap

[Gierol]

1. troszke inaczej niz wszyscy, ale podobna idea (pojedyncze wieze). nie chce mi sie tego opisywac teraz -.-
2. tak samo jak wszyscy
3.rowniez
4.na lewo i do kwadratu

[szablewskil]

Moje rozwiazania 1,2,3 są podobne do rozwiązań neecosa. Tylko 4 mam jak Sylwek. Imo tegoroczny 1 etap jest na podobnym poziomie do zeszlorocznego, tylko ta kombinatoryka trudniejsza. W kolejnosci od najlatwiejszego 4,3,2,1

[Dumel]

u mnie
1. wykreślanie wierszy i kolumn. Wkurzało mnie redagowanie tego zadania bo strzasznie dużo formalizmów musiałem upchać

2.

1) Lemat: Kazda liczbe ktora w rozkladzie na czynniki pierwsze zawiera liczbe nieparzysta (oczywiscie wieksza od 1) mozna przedstawic w postaci sumy kilku kolejnych liczb naturalnych.

ja znałem ten lemat ale o ile pamietam niektóre indeksy przy \(\displaystyle{ r}\) wychodziły z niego ujemne albo większe od \(\displaystyle{ n-1}\) i musiałem to bardziej skomplikować- dla liczb nieparzystych i \(\displaystyle{ 2^k}\) poszło od razu, a liczby postaci \(\displaystyle{ 2^km}\)(\(\displaystyle{ m}\)-nieparzyste) rozatrywałem na 2 tury:
a) liczby w których \(\displaystyle{ 2^k>m}\)
b)\(\displaystyle{ 2^k}\)

[Piotrusg]

Ja zrobiłem te 4 zadania dosc podobnie ;d 2 tez metoda ze nie działa dla liczb n innych niz 2^k a 2^k działa bo Dirichlet szufladkowy (zadna z liczb trojkatnych nie jest podzielna przez n i zadna z roznic nie jest podzielna) 3 Identico M i N na okregu na jednej prostej i z katow ze tam sa rownoramienne i ze deltoid 4 art-geo tak samo ale 1 zadanie troszke inaczej zrobiłem ;p mianowicie zauwazmy ze plytka 2 na 2 ma max wiez 4 = m+n i ze teraz moge dołozyc sobie kolejno po 1 kolumnie lub wierszu nie ma znaczenia bo to obrot o 90 i nie ma znaczenia gdzie ja dołozymy to i tak mozna max 1 wieze połozyc w 1 nowym wierszu bo inaczej sie pewna wieza jest atakowana przez 3 inne wiec zle jest stad poszerzamy to do 2 na m i mamy 2+m wiez a potem obracamy i poszerzamy do m na n i mamy max m+n wiez (uprzedam ze chodzi tez o to ze moge dołozyc wiersz skrajny lub nie czyli taki co ma 2 sasiadów ;p ale to jest w efekcie to samo bo ten nieskrajny jest z załozenia cały pusty a ten skrajny to jak sie z przystajacego do niego wiersza wszystkie wieze do skrajnego przesunie to masz to samo co nieskrajny a w nieskrajnym mozna dokładnie 1 wieze dołozyc)

[chris139]

No i czwarte przekształcenia, mógłby ktoś kto zrobił średnimi napisać swój sposób, bo jak na moje gust to średnie były za mocne na tą nierówność, ale mogę i pewnie się mylę.

\(\displaystyle{ 2a^2b+2b^2a q 4\sqrt{a^3b^3}\\
4c^3+(a^3+b^3+a^2b+b^2a) q 4\sqrt{c^3}(\sqrt{a^3+b^3+a^2b+b^2a}) q 4\sqrt{c^3}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3})}\)
Co po dodaniu stronami daje nierówność z zadania

[nivwusquorum]

Dobra ktoś tam kilka postów wcześniej pytał jak zrobić 4te ze średniej:
\(\displaystyle{ a=d^2}\)
\(\displaystyle{ b=e^2}\)
\(\displaystyle{ c=f^2}\)
Po podstawieniu i przekształceniach mamy:
\(\displaystyle{ (d^3+e^3-2f^3)^2 + 3(d^4e^2+d^2e^4 -2d^3e^3)\ge0}\)
No a prawa strona (lewej strony ) to przecież nic innego jak średnia.

Jeszcze apropos drugiego: wszyscy dwodzą, że nieparzyste przystają do zera gdzieśtam, a parzyste sie powtórzą. A próbował ktoś odwrotnie? Tzn. że nieparzyste się powtórzą, a parzyste przystają do 0. Bo generalnie jestem niemal pewien, że takie coś także zachodzi (niemal = 1000000 pierwszych przypadków sprawdzonych na kompie).

[Piotrusg]

Ja zrobiłe ze nieparzyste przystaja do zera i te liczby n=2p gdzie p to nieparzysta wieksza od 1 tez Istotnie : sa dla n=2p 2 przypadki 1 n=1 mod 4 to wtedy 1+2+3+.....+p-1=p(p-1)/2=0 mod n lub 2 przypadek n=3 mod 4 to wtedy 1+2+3+....+p=p(p+1)/2=0 mod n bo oczywiscie n=2p a obie te sumy wystepuja w rozpatrywanym ciagu

[nivwusquorum]

Aha no i jeszcze jedna bardziej przyziemna prośba. Ktoś może się pochwalić swoim dowodem, że D, J, M są współliniowe? Bo ja w sumie swojego nie jestem pewien do końca...

[Piotrusg]

To sie rozchodzi o to ze M jest srodkiem łuku bodajze F E i stad prosta DM jest dwusieczna kata DEF a na dwusiecznej DEF lezy J jako srodek okregu wpisanego w DEF mozna tez na chama z sumy 2 katow pokazac ze sie sumuja tak ze sa rowne

[nivwusquorum]

Dokładnie ja robiłem z sumy dwóch kątów. Tzn. że jeśli DM jest dwusieczną to przy M wychodzi dobry kąt. Tylko ten dowód jest taki dziwny pod względem logiki. Bo niby trzebaby też dowieść w drugą stronę tego, ale wg mnie nie trzzeba, bo gdyby DM nie byłaby dwusieczną to istniałby taki przypadek, że przy M wychodziłby inny kąt a ten dowód zaprzecza istnieniu takiego przypadku. Ale w sumie nie wiem czy nie ma błędu w tym rozumowaniu.

[xiikzodz]

Jeszcze apropos drugiego: wszyscy dwodzą, że nieparzyste przystają do zera gdzieśtam, a parzyste sie powtórzą. A próbował ktoś odwrotnie? Tzn. że nieparzyste się powtórzą, a parzyste przystają do 0. Bo generalnie jestem niemal pewien, że takie coś także zachodzi (niemal = 1000000 pierwszych przypadków sprawdzonych na kompie).

Jasne, tylko wtedy zamiast 1 linijki, trzeba napisac 10. Sylwek to wlasnie przeciez pokazal.

[limes123]

Ponoć ładnie można to rozwiązać indukcyjnie. Kumple robili też to uzasadniając, że nie można rozmieścić m+n+1 wież (korzystając m.in. z zasady szufladkowej), jednak nie wiem jak wyglądają pełne rozwiązania tymi metodami.

Ja robilem przy ustalonym m po zmiennym n, i przy zalozeniu, ze zachodzi dla szachownic z liczba kolumn mniejsza od n. Dla szachownicy mxn zakladalem nie wprost, ze da sie ustawic m+n+1 i dochodzilem do sprzecznosci w 2 przypadkach
(i)w jednym z wierszy stoja co najmniej 3 wieze (wtedy srodkowa kolumne mozna wykreslic i otrzymac szachownice ktora lapie sie do zalozenia ind. i tam sprzecznosc)
(ii)W kazdym wierszu sa co najwyzej 2 wieze i tutaj po prostu pare rzeczy trzeba bylo zauwazyc i w tym przypadku wykreslalem wiersze, dochodzac na koncu do szachownicy 2xn i tez byla sprzecznosc (wychodzilo, ze musi zawierac co najmniej n+3 wieze), bo w niej nie moze byc wiecej niz n+2 (da sie to latwo pokazac).
Tak w skrocie

[michaln90]

1. najpierw oczywiści przykład, a potem indukcja(odejmowanie wierszy)
2. 2 przypadki, tzn. n posiada dzielnik nieparzysty większy od 1 i n nie posiada dzielnika pierwszego większego niż 1
3. deltoid MJNF
4. podstawienie pod nieujemne a,b,c kwadratów liczb rzeczywistych x2, y2, z2 (żeby ściągnąć pierwiastki) a potem a potem pod z3 podstawiam 1/2(x3 + y3) + d, gdzie d jest rzeczywistą. Tak się składa że potem d zostaje po jednej stronie w kwadracie, a x i y tworzą wyrażenia symetryczne.

Wcale nie uważam że 2 było trudne do zredagowania. W ogóle zadania z I serii były łatwe do zredagowania. Moż na powiedzieć że komitet dał zawodnikom darmowe 24 punkty.

[binaj]

1. Założenie,że jest m+n+1 wież i z szufladki
2. kombinowałem z tym,ze każdą liczbę mającą w rozkładzie liczbę nieparzystą da się przedstawić jako sumę kolejnych liczb całkowitych (później trzeba było coś poredukować, żeby wyszły naturalne), i że z potęgą dwójki tak nie można, ale generalnie wyszło mi za dużo tych przypadków i trochę nieczytelnie, także nie wiem co będzie
3. Jak wszyscy
4. Też na jedną stronę i do nawiasów

[xiikzodz]

Przeciez rozwiazanie 2 to kilka linijek.

To samo 3,4 (w 4 mozna jeszcze podzielic obie strony przez c^3, rozwazajac oddzielnie przypadek c=0, i wowczas otrzymujemy jeszcze prostsza nierownosc zalezna od s=a/c i t=b/c).

Rozwiazanie 1 z wyczerpywaniem pol na przegu szachownicy jest najszybsze w glowie i eleganckie, ale na papierze moze sprawic klopot. Sylwek podal bardzo fajne rozwiazanie 1.