Matematyka.pl

Chcemy dowieść \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+x^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}> 2}\)

I sposób
Z Hoeldera mamy \(\displaystyle{ \left(\sum\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}\right)^2\cdot\sum x\left(y^2+z^2\right)\ge\left(\sum x\right)^3}\), czyli pozostaje wykazać \(\displaystyle{ \left(\sum x\right)^3\ge 4\sum x\left(y^2+z^2\right)\iff\sum x(x-y)(x-z)+3xyz\ge 0}\), prawdziwą na mocy nierówności Schura.

II sposób
Wykorzystujemy jednorodność. WLOG \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\), ale \(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ge 2x^2\iff x^2\left(2x^2-1\right)^2\ge 0}\).

Ponieważ równość mielibyśmy tylko dla \(\displaystyle{ (x,y,z)=(t,t,0),\ t>0}\) i permutacji, więc nierówności są ostre.

Mamy znaleźć największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x\left(1993+\sqrt{1995-x^2}\right)}\) w dodatnich iksach (najmniejsza będzie równa co do modułu, oczywiście wówczas iksy będą ujemne).
Bierzemy dla wygody \(\displaystyle{ a=1993,\ b=1995}\) i korzystamy dwa razy z AM-GM:

\(\displaystyle{ \left(f(x)\right)^2=x^2\left(a+\sqrt{1\cdot\left(b-x^2\right)}\right)^2\le x^2\left(a+\frac{1+b-x^2}{2}\right)^2\le\\ \\ \left(\frac{x^2+2a+1+b-x^2}{3}\right)^3=\left(\frac{2a+b+1}{3}\right)^3}\)

Stąd \(\displaystyle{ f(x)\le\left(\frac{2\cdot 1993+1995+1}{3}\right)^{3/2}=1994^{3/2}}\) osiągana wtw, gdy \(\displaystyle{ 1995-x^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ x^2=1993+\frac{1+1995-x^2}{2}}\), tzn. gdy \(\displaystyle{ x=\sqrt{1994}}\).

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-2} \frac{1}{k!} \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^{n-k} \frac{1}{(n-k)!}\right)=1- \frac{1}{n!}, n \ge 2}\)
Po lewej mamy splot ciągów
\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n!}, \ b_n= \sum_{i=2}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}}\)
Funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ c_n=1-\frac{1}{n!}}\) to, jak nietrudno się przekonać, \(\displaystyle{ G(x)= \frac{1}{1-x}-e^x}\)
Funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n!}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ e^x}\). Ponadto funkcja tworząca splotu dwóch ciągów to iloczyn ich funkcji tworzących. Wystarczy zatem sprawdzić, że dowodzona równość jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=2}\) oraz że ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) ma funkcję tworzącą \(\displaystyle{ H(x)= \frac{e^{-x}}{1-x}-1}\)
Mamy
\(\displaystyle{ b_{n}=b_{n-1}+ \frac{(-1)^{n}}{n!}, \ n\ge 3\\ \sum_{n=3}^{ \infty }b_{n}x^n= \sum_{n=3}^{ \infty }b_{n-1}x^n+ \sum_{n=3}^{ \infty } \frac{(-x)^n}{n!}\\ H(x)-\frac 1 2 x^2=xH(x)+e^{-x}- \frac{x^2}{2}+x-1\\ H(x)= \frac{e^{-x}}{1-x}-1}\),
zgodnie z oczekiwaniami.
To kończy dowód.