IX PODKARPACKI KONKURS MATEMATYCZNY im. Franciszka Lei

[knrdk]

Na poziomie drugim na pierwsze miejsce 22pkt. na trzecie 18pkt.

[Artist]

Pierwsze jest dosyć znane, chyma nawet w suplemencie KMDO jest dokładnie takie samo.

[knrdk]

Pierwsze jest w zbiorze Pawłowskiego z olimpiad matematycznych.
Ja udowodniłem że jest to liczba całkowita, ale na iloczyn nie udało mi się tego rozłożyć.

Ogólnie to zawaliłem ten konkurs, piątek rozwiązałem dobrze, ale skreśliłem :/, za czwarte nawet się nie zabierałem, a po konkursie zrobiłem w 5 minut. Zbyt długo męczyłem się z 3.

[Sylwek]

Trzecie można fajnie rozwiązać metodą strzelania

A mianowicie jakby założyć tezę, to musiałby być spełniony jeden z warunków: \(\displaystyle{ a^2=bc, \ b^2=ac, \ c^2=ab}\).

Zatem "powinno być" \(\displaystyle{ (a^2-bc)(b^2-ac)(c^2-ab)=0}\).

Wymnażając i porządkując: \(\displaystyle{ (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3=abc(a^3+b^3+c^3)}\), więc po prostu czytając powyższe rozwiązanie "od tyłu" otrzymujemy piękne przekształcenie - czary-mary i okazuje się, że:
\(\displaystyle{ (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3=abc(a^3+b^3+c^3) \ \Rightarrow (a^2-bc)(b^2-ac)(c^2-ab)=0 \Rightarrow TEZA}\)

1. i 2. są w niebieskim Pawłowskim, 4. jak już było, to też pozdrowienia dla autorów zadań, 5. już kilka razy widziałem na forum, nawet sam kiedyś rozwiązywałem. Autorzy się zbytnio nie wysilili, z resztą rzadko w którym konkursie się wysilają. Jak ktoś zna, to raczej jest dobry i by zrobił nawet jakby nie znał, więc niewiele tracą.

[Desmondo]

No to ja umieszczę zadania z poziomu I:
1. Wykaż, że jeśli funkcja liniowa f spełnia warunki \(\displaystyle{ f(2008)>2008}\) i \(\displaystyle{ f(2010)>2010}\), to \(\displaystyle{ f(2009)>2009}\)
2. Sprawdź, czy istnieją liczby całkowite różne od zera a, b, c, d takie, że \(\displaystyle{ 24^{a} \cdot 25^{b} \cdot 27^{c} \cdot 30^{d}=1}\)
3. W trapezie ABCD boki nierównoległe AD i BC są wzajemnie prostopadłe. Ponadto kąt DAC jest równy kątowi ABC i ich miary są równe 30 stopni. Wiedząc, że AD=8, oblicz pole i obwód tego trapezu.
4. Gdyby Aleksander Wielki umarł o 5 lat wcześniej, panowałby jedną czwartą swojego życia, gdyby zaś żył o 9 lat dłużej, panowałby połowę swojego życia. Ile lat żył i ile panował?
5. W trójkącie ABC bok AB=8 cm, bok AC=10 cm, a bok BC=12 cm. Z punktu O (środka boku BC) zakreślono promieniem OB okrąg przecinający bok AB w punkcie D i bok AC w punkcie E. Oblicz długość odcinków DB i EC.

Zadania dosyć proste. Będę zdziwiony, jeśli nie będzie kilku maksów. Zaś zadanie czwarte nie wiem, co w ogóle robi na tym konkursie. Tym bardziej, że podobny układ równań był na pierwszym etapie.

[prox]

Na I poziomie było 6 maxów. Ja mam tylko 26 pkt bo w 2 zadaniu podalem tylko przyklad takich liczb i myslalem ze wystarczy

[RVN18]

Chyba najłatwiejszy finał , region był dużo fajniejszy, a ja go tak słabo napisałem, niby mam 4 i pół zadania ale w rzeczywistości w trzech mam troche naciągane wyniki stąd przewiduje wynik około 15p. A tak nawiasem za przejście dotego etapu nie dostałem nawet długopisu :d

[Kalaf]

Szybkie pytanie do pierwszego z pierwszego poziomu. Po dodaniu stronami mamy
\(\displaystyle{ f(2008)+f(2010)=2 \cdot 2009}\)
Można napisać, że \(\displaystyle{ f(2008)+f(2010)=2 \cdot f(2009)}\), jako, że jest to funkcja liniowa?
Przykro mi, jestem nowy na forum, nie umiem tego ładnie napisać :p
[edit]naumiałem się xd

[kp]

Na I poziomie było 6 maxów. Ja mam tylko 26 pkt bo w 2 zadaniu podalem tylko przyklad takich liczb i myslalem ze wystarczy

- skąd masz te informację ??

[bosa_Nike]

Można napisać [...]?

Nie.

\(\displaystyle{ (1):\ \ ax+b>x,\ \ (2):\ \ ay+b>y\ \Rightarrow\ \frac{(1)+(2)}{2}:\ \ a\frac{x+y}{2}+b>\frac{x+y}{2}}\)

[Kalaf]

Mhm. Dalej uważam, że przy funkcji liniowej prawdziwe jest:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{f(x-y)+f(x+y)}{2}}\)

[bosa_Nike]

Po dodaniu stronami mamy
\(\displaystyle{ f(2008)+f(2010)=2 \cdot 2009}\)

Wątpliwości miaŁAM tutaj.

[Kalaf]

No tak, mój błąd. Miał być ">", nie "=".

[Rush]

Nieoficjalnie mam 55666, ale bede sie odwolywal. Nie mam pojecia, gdzie mogli mnie pociac przy najlatwiejszych zadaniach(pomijam fakt, ze wszystkie byly trywialne). Generalnie ten konkurs w tym roku prezentowal jeszcze bardziej zenujacy poziom niz w latach ubieglych, zadania byly na poziomie etapu szkolnego konkursu kuratoryjnego (mowie caly czas o poziomie I). A chyba ten konkurs mial byc dla liceum, nalezy sie wiec zastanowic, co tu sie u diabla dzieje? Badzmy szczerzy, jak na finale daja tak oklepany uklad rownan ktory w dodatku znajduje sie w praktycznie KAZDYM podreczniku gimnazjum to tylko wola o pomste do nieba...Nie wspominam juz o roznicy poziomow miedzy Stopniem I a ii, ktora jest wrecz ogromna, a chyba nie powinno tak byc. Nic tylko zrobic porzadnego facepalma i liczyc na to, ze w przyszlym roku to sie poprawi.

[unforgiven]

Mozna wiedziec skad macie te nieoficjalne wyniki ?