Matematyka.pl

porfirion pisze:Za to co wszystkim (względnie mi) - za brak wzmianki o rozwartości kąta (co jest przecież mega oczywiste).

nobuddy pisze:
Czy ktoś wie czemu na stronie om nigdy nie ma jawnej informacji o progu

kaszubki pisze:Witajcie!
Doszły mnie słuchy, że ludzie mówią, że piąte to była zgadywanka. To wcale nie jest prawda!
Zadania trzeba rozkminiać, albo się nie denerwować.
Oto mój tok rozumowania:
Najpierw przez 3 godziny myślimy, że się nie da i próbujemy to udowodnić. Jednak po sprawdzeniu ok. 10 metod nam nie pyka, więc może jednak coś jest na rzeczy.
Sprawdzamy dla wielomianów stopnia 2. Łatwo widać, że tu nie ma kontrprzykładu.
No to \(\displaystyle{ n=3}\):
\(\displaystyle{ W(x)=W(y) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+a(x+y)+b)=0 \Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)+a(x+y)+b=0}\). Wobec tego weźmy \(\displaystyle{ x=\frac{p}{r}, y=\frac{q}{r}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q,r}\) są całkowite.
\(\displaystyle{ W(x)=W(y) \Leftrightarrow (p^2+pq+q^2)+a(pr+qr)+b(r^2)=0}\).
No i teraz doświadczony zawodnik już wie, co trzeba z tym zrobić. \(\displaystyle{ p^2+pq+q^2}\) to jest takie fajne wyrażenie, że jak się weźmie liczbę pierwszą dającą resztę 2 modulo 3, to ono daje modulo ta liczba pierwsza resztę 0 wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) dają resztę 0. (finał 61. OM, zadanie 5.)
Wobec tego niech \(\displaystyle{ m}\) będzie taką liczbą pierwszą. Gdy \(\displaystyle{ p,q \equiv 0 \text{ modulo } m}\), to \(\displaystyle{ p^2+pq+q^2 \equiv 0 \text{ modulo } m^2}\). Zatem doświadczony zawodnik już wie, że tu trzeba będzie zastosować nieskończone schodzenie.
W tym celu weźmiemy \(\displaystyle{ a=m,b=m}\) i dostajemy \(\displaystyle{ (p^2+pq+q^2)+m(pr+qr+r^2) = 0}\). I to istotnie jest nieskończone schodzenie modulo m.
Chcemy jeszcze, żeby nasz wielomian \(\displaystyle{ x^3+mx^2+mx}\) miał więcej niż jeden pierwiastek. Jednak jak zauważymy, że \(\displaystyle{ m\geq 5}\), to delta równania \(\displaystyle{ x^2+mx+m}\) wychodzi dodatnia, więc \(\displaystyle{ W(x)}\) ma 3 pierwiastki, z czego 2 niewymierne. Wobec tego mamy \(\displaystyle{ W(t_1)=W(t_2)}\), a nie mamy \(\displaystyle{ W(r_1)=W(r_2)}\).
Bawcie się i cieszcie razem ze mną!