Wzór na pole koła metodą całkowania.

[luka52]

monteiro, to poproszę dowód tw. P-G, w którym nie używa się całek.

[meninio]

O tym twierdzeniu nie słyszałem, ale z twierdzeniem się zapoznałem już.

[jarulek]

Witam chciałbym wyznaczyć wzór na pole koła za pomocą całki podwójnej ale nie rozumiem powyższego rozwiązania
wiem że \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le R}\)
\(\displaystyle{ x=rcos\varphi}\)
\(\displaystyle{ y=rsin\varphi}\)
\(\displaystyle{ dxdy=drd\varphi}\)
i tereaz korzystam ze wzoru\(\displaystyle{ x^2+y^2=0}\) ?
to jak podstawie za x i y to wychodzi \(\displaystyle{ r^2}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^3drd\varphi}\)
no i w wyniku nie wychodzi prawidłowy wzór. Co robię źle proszę o pomoc.

[miodzio1988]

i tereaz korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ x^2+y^2=0}\) ?

Co to za wzór jest? Bzdura

Całka podwójna powinna inaczej wyglądać

[Nakahed90]

Pole koła to jest inaczej \(\displaystyle{ \int \int_{D}dxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2 \le R^2\}}\) i przechodząc na współrzędnie biegunowe otrzymujesz do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R}rdrd\phi}\)

[M Ciesielski]

Pole jakiegoś obszaru to całka z jedynki po zadanym obszarze...

[Mariusz M]

M Ciesielski, masz na myśli całkę podwójną

[M Ciesielski]

Cały czas mowa jest o całkach podwójnych, z resztą:

(...)po zadanym obszarze

więc napewno podwójną.

[jarulek]

Pole koła to jest inaczej \(\displaystyle{ \int \int_{D}dxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2 \le R^2\}}\) i przechodząc na współrzędnie biegunowe otrzymujesz do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R}rdrd\phi}\)

OK rozumiem, ale skąd się bierze \(\displaystyle{ rdrd\phi}\) ? jak wygląda to przejście ?

[miodzio1988]

Pole jakiegoś obszaru to całka z jedynki po zadanym obszarze...

Z tej uwagi przede wszystkim.

Również z tego jak wygląda całka podwójna gdy całkujemy po obszarze normalnym.

Również z tego jak wygląda wzór na całkowanie przez podstawienie.

Również z tego, że musimy policzyć Jakobian przekształcenia (jakiego? z czego w co?)

[jarulek]

Dzięki policzyłem Jakobian i faktycznie wyszło r, ale mam jeszcze jedno pytanko skąd się bierze kolejność \(\displaystyle{ drd\varphi}\)
w tym jeszcze jest dość oczywiste jak ma wyglądać ale pewnie jakaś przyczyna jest
Ale jak liczę objętość kuli całką potrójną to jest
\(\displaystyle{ d\varphi d\rho dr}\) czemu taka kolejność, być może to dla was i oczywiste i to jest głupie pytani z waszego punktu widzenia ale byłbym bardzo wdzięczny za wytłumaczenie.

[miodzio1988]

Kolejność nie ma znaczenia