Wzór na pole koła metodą całkowania.

[Dargi]

Zastanawiałem się jak takowy wzór wyprowadzić i wpadłem na takie coś.
Chciałbym się zapytać czy taka metoda jest poprawna.
1. Obwód koła to nic innego jak suma wszystkich punktów oddalonych o \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ Ob= t_{0}^{2\pi} rd\alpha=2\pi r}\)
No a pole to suma wszystkich okręgów od 0 do r czyli:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{r}=2\pi r dr=2\pi t_{0}^{r}r dr=2\pi \frac{r^2}{2}=\pi r^2}\)

Ktoś ma inne pomysły?

[Hamster]

Pewnie ,że jest poprawna, wycinasz sobie malutki kawałeczek , w którym jest trochę r i troche d\(\displaystyle{ \alpha}\).

Następnie \(\displaystyle{ \int}\)ummujesz to

[Wasilewski]

Obwód koła to można z definicji \(\displaystyle{ \pi}\) wziąć, nie trzeba nic całkować, ale pole to tak samo sobie wyprowadzałem.

[Kris-0]

z tego co wiem to tak chyba najprościej wyprowadzić wzory na obwód i pole koła jak zna sie jako tako całki. Istnieją trudniejsze metody, ale skoro są łatwiejsze to trzeba z nich skorzystać. (Mam na myśli obliczanie długości łuku krzywej i wyznaczenie z równania okręgu y(x) przy odpowiednich granicach całkowania.)

[bolo]

Weźmy ćwiartkę koła (od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \tfrac{\pi}{2}}\)). Tworząc w odpowiedni sposób jeden trójkąt równoramienny (i w tym przypadku też prostokątny), jego pole wynosi:

\(\displaystyle{ P_{1}=\tfrac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot \sin{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}.}\)

Tworząc następnie dwa, trzy, cztery... takie trójkąty, to pole takiego obszaru wyrażałoby się odpowiednio przez:

\(\displaystyle{ P_{2}=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{2}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right) ,\\ \\ P_{3}=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{6}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{6}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{3}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{6}\right), \\ \\ P_{4}=\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{8}\right)+\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\tfrac{4}{2}r^{2}\sin\left(\tfrac{\pi}{8}\right).}\)

Zauważamy teraz, że powoduje to utworzenie wzoru ogólnego:

\(\displaystyle{ P_{n}=\frac{n r^{2}}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right).}\)

Szukane pole koła to pomnożenie przez \(\displaystyle{ 4}\) i przejście do granicy:

\(\displaystyle{ P=4\lim_{n\to\infty}P_{n}=2 r^{2}\lim_{n\to\infty}n\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)=\pi r^{2}.}\)

W podobnie prosty sposób można obliczyć długość okręgu. Korzysta się w tym przypadku z twierdzenia cosinusów dla wyznaczenia długości podstawy powstających trójkątów równoramiennych.

[Dargi]

Bardzo ciekawy sposób

[luka52]

Metodą, którą zaprezentował bolo można wyprowadzić wzór na pole ograniczone przez krzywą we wsp. biegunowych, czyli:

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} t\limits_{\alpha}^{\beta} \rho^2 ( \varphi )\, \mbox{d} \varphi}\)

a, że wtedy r. okręgu to r=R... ;]

Pole koła można też szybciutko za pomocą całki podwójnej wyprowadzić, tj.:

\(\displaystyle{ \int\limits_0^{2 \pi} \, \mbox{d} \varphi t\limits_0^R \rho \, \mbox{d}\rho = \ldots}\)

[alchemik]

Odnosząc się do postu Bolo, mógłby ktoś udowodnić why:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} n \sin\frac{2 \pi}{n}=2\pi}\)

[bolo]

\(\displaystyle{ n\sin{\frac{2\pi}{n}}=2\pi\frac{\sin{\frac{2\pi}{n}}}{\frac{2\pi}{n}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 2\pi}\)

[alchemik]

Ok... wszystko jasne. Wielkie dzięki!

[Bartek1991]

Mógłby mi ktoś wyjaśnić, skąd się biorą te wzory na trójkąty? Poza tym co ma pole powierzchni trójkąta do pola powierzchni koła? Nie za bardzo rozumiem tej metody bolo, będę bardzo wdzięczny za wytłumaczenie.

[meninio]

Wpisując kolejno w okrąg trójkąt równoramienny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, siedmiokąt foremny, itd.....widzimy, że wpisywana figura coraz bardziej przypomina okrąg.
Im większy n-kąt foremny wpiszemy w okrąg tym bardziej będzie go przypominał. Łatwo się domyślić więc, że okrąg to n-kąt foremny o nieskończonej liczbie boków. Więc pole koła to pole n-kąta foremnego o nieskończonej liczbie boków wpisanego w ten okrąg. A więc najpierw policzmy pole dowolnego n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu\(\displaystyle{ r}\):

Każdy n-kąt foremny wpisany w okrąg składa się z \(\displaystyle{ n}\) przystających trójkątów równoramiennych o bokach: \(\displaystyle{ r,r,a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to długość boku n-kąta foremnego (ale ona tutaj znaczenia nie ma).
Więc pole takiego jednego trójkąta równoramiennego wynosi:

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}r^2\sin \phi}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to kąt miedzy ramionami (promieniami) w tym trójkącie.

Czyli pole całego n-kata foremnego jest równe:

\(\displaystyle{ P_n=n \cdot P=\frac{nr^2}{2}\sin \phi}\)

Musi jeszcze wyznaczyć wartość kąta \(\displaystyle{ \phi}\) w zależności od ilości boków n-kąta foremnego.
Skoro podzieliliśmy n-kąt foremny na n trójkątów przystających równoramiennych to każdy z nich ma miedzy ramionami (promieniami) ten sam kąt. W sumie te kąty tworzą kąt pełny więc miara pojedynczego będzie równa:

\(\displaystyle{ \phi = \frac{2\pi}{n}}\)

Podstawiając kąt do wzoru na pole n-kata foremnego mamy:

\(\displaystyle{ P_n=\frac{nr^2}{2}\sin \frac{2\pi}{n}}\)

Przechodząc z tym wyrażeniem do granicy otrzymamy wzór na pole koła:

\(\displaystyle{ P_k= \lim_{ n \to \infty } P_n = \lim_{ n \to \infty } \frac{nr^2}{2}\sin \frac{2\pi}{n} = \lim_{ n \to \infty } \frac{nr^2}{2} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n} \cdot \frac{n}{2\pi}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{nr^2}{2} \cdot \frac{2\pi}{n}=\pi r^2}\)

[monteiro]

po co te całki ? wystarczy zastanowić się w jaki sposób i z czego powstaje koło ? to tak naprawdę dwuwymiarowa figura obrotowa, powstaje przez obrót odcinka wokół osi




Odcinek tworzy koło przez obrót wokół osi, każdy punkt odcinka pokonuje drogę po okręgu o innej długości, długość drogi zależy od odległości od osi, punkt leżący bardzo blisko osi pokonuje bardzo małą drogę, a ten najdalej od osi najdłuższą drogę, punktem uśredniającym drogę jest środek odcinka czyli połowa promienia \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\), długość drogi jest długością okręgu i wynosi \(\displaystyle{ 2\pi(\frac{R}{2})}\), pole otrzymujemy mnożąc długość odcinka \(\displaystyle{ R}\) przez drogę \(\displaystyle{ 2\pi(\frac{R}{2})}\), czyli \(\displaystyle{ R*2*\pi*\frac{R}{2}=\pi R ^{2}}\)

[meninio]

Jak uzasadnisz, że pole koła to długość promienia pomnożona przez połowę obwodu??
Zakładając oczywiście, że wcześniej wzoru na pole koła nie znasz...

[monteiro]

tu nie ma co udowadniać, o twierdzeniu guldina pappusa nie słyszałeś ? do tego można dojść bez żadnego dowodu, wystarczy pomyśleć, tak samo oblicza się objętości wszystkich figur obrotowych, mnoży się pole figury płaskiej przez drogę jaką pokonuje środek ciężkości tej figury odległy od osi obrotu