Zbiór słów

[Jan Kraszewski]

Życie nie jest aż tak proste. Jeżeli `P_n` oznacza zbiór liczb pierwszych bliźniaczych mniejszych od `n` to każdy z tych zbiorów niewątpliwie jest skończony, się obawiałbym się stwierdzenia, że jego suma jest nieskończona.

Zły przykład. Moje twierdzenie wyraźnie dotyczyło sumowania rodziny mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\), a tutaj nie jesteś w stanie tego stwierdzić.

Może się okazać, że o każdym że zbiorów wiemy że jest skończony, ale nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy ich uniwersum jest nieskończona. Wtedy Twoje stwierdzenie staje się wątpliwe

Ależ skąd. Jeżeli jesteśmy w stanie stwierdzić, że tych zbiorów jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\), to suma jest ewidentnie nieskończona, co Ci zresztą udowodniłem. Masz jakieś zastrzeżenia do tego dowodu?

Bardzo świadomie nigdzie nie użyłem sformułowania "przeliczalna rodzina zbiorów skończonych", żeby nie musieć się z niego potem tłumaczyć...

JK

[a4karo]

Dla mnie ` \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n` jest przeliczalna sumą zbiorów z powodu ` \bigcup_{n=1}^{\infty} `, a nie z powodu zawartości zbiorów składowych. Ale może to kwestia terminologii.

[Jan Kraszewski]

Dla mnie ` \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n` jest przeliczalna sumą zbiorów z powodu ` \bigcup_{n=1}^{\infty} `, a nie z powodu zawartości zbiorów składowych.

Nie chodzi o zawartość zbiorów składowych. "Przeliczalna suma zbiorów" to pewien skrót myślowy - tak naprawdę jest to suma uogólniona pewnej przeliczalnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{A_n:n\in\NN\}}\), przy czym świadomie używam takich a nie innych nawiasów. Wtedy przeliczalność nie odnosi się do \(\displaystyle{ n\in\NN}\), tylko do realnej mocy tej rodziny. Jeśli zatem \(\displaystyle{ A_n=\{\pi\}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN,}\) to rodzina \(\displaystyle{ \{A_n:n\in\NN\}}\) nie jest przeliczalna (dla mnie: przeliczalność \(\displaystyle{ \equiv}\) mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\)), tylko jednoelementowa, bo \(\displaystyle{ \{A_n:n\in\NN\}=\{\{\pi\}\}.}\)

Ale może to kwestia terminologii.

Też tak sądzę...

JK

[a4karo]

Pozwolę sobie tylko zauważyć że w skrypcie Kraszewskiego w definicji sumy uogólnionej ani słowem nie wspomina się, że składniki tej sumy mają spełniać cokolwiek. W szczególności suma uogólniona takich samych zbiorów nadal nosi miano sumy uogólnionej

[Jan Kraszewski]

Ależ oczywiście, ale jest to suma uogólniona jednoelementowej rodziny.

Zauważ, że pojęcie suma uogólniona tak naprawdę oznacza sumę dowolnej rodziny zbiorów (def. 3.7). Indeksowanie elementów tej rodziny jest po to, żeby łatwiej się o tym myślało (i pisało), ale rodzi pewne utrudnienia formalne, nad którymi zazwyczaj się nie pochylamy, bo nie ma to praktycznego znaczenia. Formalnie indeksowana rodzina zbiorów to funkcja (przykład 5.3(5)), ale w odniesieniu do sumy i przekroju zdecydowanie naturalniej jest myśleć o zbiorze wartości tej funkcji, tym bardziej, że dokładnie odpowiada podstawowej definicji sumy uogólnionej: przecież w rodzinie (zbiorze) zbiorów elementy są rozróżnialne. Dlatego jak mówię o sumie uogólnionej nieskończonej rodziny zbiorów, to chodzi o to, że rodzina ta ma nieskończenie wiele elementów, a nie że użyto nieskończenie wiele etykietek.

JK

[a4karo]

Dlatego jak mówię o sumie uogólnionej nieskończonej rodziny zbiorów, to chodzi o to, że rodzina ta ma nieskończenie wiele elementów, a nie że użyto nieskończenie wiele etykietek.

Tyle, że z definicji nijak takie mówienie nie jest uzasadnione.


IStajesz przez dziwnym problemem. Wyobraź sobie, i wiesz, że \(\displaystyle{ A_n=\{ n \mod k\}}\). Czy zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\) jest sumą uogólnioną? Bo dla Ciebie nie jest, dla mnie jest. A dla laika, który nic nie wie o teorii liczb i nie jest w stanie zanalizować sytuacji???
To oczywiście przykład trywialny, ale formuły opisujące składniki sumy mogą być na tyle skomplikowane, że nie będziesz w stanie odpowiedzieć, czy masz do czynienia z różnymi zbiorami, czy może stale z tym samym. lub ich skończoną ilością.
Wydaje się więc (i jest to zgodne z litera definicji), że nie ma dobrych argumentów za tym, żeby definicję pojęcia "suma uogólniona" uzależniać od składników. Na tej samej zasadzie mógłbyś bowiem powiedzieć, że `A\cup A` nie jest sumą zbiorów, a szereg, którego wyrazy od pewnego miejsca sa zerowe nie jest szeregiem?.

Z tego powodu zakwestionowałem Twoje stwierdzenie, że przeliczalna suma zbiorów skończonych jest przeliczalna.

[Jan Kraszewski]

IStajesz przez dziwnym problemem. Wyobraź sobie, i wiesz, że \(\displaystyle{ A_n=\{ n \mod k\}}\). Czy zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\) jest sumą uogólnioną? Bo dla Ciebie nie jest, dla mnie jest.

Nie bardzo rozumiem, o co Ci chodzi.

Po pierwsze, nie bardzo wiem, co ma znaczyć napis \(\displaystyle{ A_n=\{ n \mod k\}}\). Nie dość, że nie jest to poprawny opis zbioru, to dodatkowo nie wiem, co to jest \(\displaystyle{ k}\).
Po drugie, nie rozumiem, dlaczego według Ciebie dla mnie zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\) nie jest sumą uogólnioną. Wydawało mi się, że dość wyraźnie napisałem, co to jest suma uogólniona, ale chyba inaczej to zrozumiałeś. To jest suma uogólniona rodziny \(\displaystyle{ \{A_n:n\in\NN\}}\). Zupełnie inną kwestią jest pytanie, czy ta suma jest sumą skończenie, czy nieskończenie wielu zbiorów.

To oczywiście przykład trywialny, ale formuły opisujące składniki sumy mogą być na tyle skomplikowane, że nie będziesz w stanie odpowiedzieć, czy masz do czynienia z różnymi zbiorami, czy może stale z tym samym. lub ich skończoną ilością.

No i co z tego?

Wydaje się więc (i jest to zgodne z litera definicji), że nie ma dobrych argumentów za tym, żeby definicję pojęcia "suma uogólniona" uzależniać od składników.

Ja nic takiego nie robię.

Z tego powodu zakwestionowałem Twoje stwierdzenie, że przeliczalna suma zbiorów skończonych jest przeliczalna.

Myląc ze sobą dwie kwestie - "uogólnioność" sumy i przeliczalność sumy. Dodatkowo nigdzie nie ustosunkowałeś się do dowodu tego faktu, który przedstawiłem.

Od strony formalnej sprawa jest jasna: sumujesz rodzinę zbiorów i jeżeli ta rodzina jest przeliczalna, to suma jest przeliczalna, a jeżeli jest skończona, to suma jest skończona. A jeżeli w jakiejś sytuacji nie jesteś w stanie ustalić, czy rodzina jest skończona czy nie, to możesz użyć innej terminologii, mówiąc np. co najwyżej przeliczalnej sumie zbiorów.

JK