Matematyka.pl

A jak do tego dojść? Bo nie rozumiem jak to wyrażenie wychodzi z sumowania \(\displaystyle{ (n+1)}\), składników identycznych czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\)? Przecież w tym ciągu są całkiem inne wyrazy. Z ilością składników rozumiem ale dalej nie. Może ktoś wytłumaczyć bardziej szczegółowo?

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 14:15A jak do tego dojść?

Praktyka? Ćwiczenia?

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 14:15Bo nie rozumiem jak to wyrażenie wychodzi z sumowania \(\displaystyle{ (n+1)}\), składników identycznych czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\)? Przecież w tym ciągu są całkiem inne wyrazy. Z ilością składników rozumiem ale dalej nie. Może ktoś wytłumaczyć bardziej szczegółowo?

Ale tu nie ma nic więcej do tłumaczenia niż to, co napisałem w poprzednim poście. Nie odpowiedziałeś na pytanie czy rozumiesz, co to jest "szacowanie z dołu".

JK

Możesz wyjaśnić czy jest to oszacowanie z dołu? I jak to się ma do tego ciągu wyrazów do którego cały czas "pije".

Chcesz udowodnić, że suma \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) jest większa od \(\displaystyle{ \frac12.}\) Zauważ, że w tym celu wystarczy wskazać liczbę \(\displaystyle{ \red{p}}\), o której będziesz w stanie pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\red{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \red{p}>\frac12}\). Całe to rozwiązanie (u ciebie na czerwono) polega na tym, żeby znaleźć odpowiednią liczbę \(\displaystyle{ \red{p}}\).

Jak jej szukamy? Jeżeli każdy z \(\displaystyle{ n+1}\) składników sumy \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) zmniejszymy, to suma tych zmiejszonych składników będzie niewątpliwie mniejsza od wyjściowej sumy. To zmniejszanie to właśnie "szacowanie od dołu". Można to robić na różne sposoby, ale chodzi o wybranie takiego sposobu, który pozwoli nam na osiągnięcie zamierzonego celu. Dość typową metodą szacowania takiej sumy od dołu jest oszacowanie każdego ze składników przez najmniejszy z nich, czyli:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)

(największy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), najmniejszy - \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\)).

Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)

Ponieważ zmniejszona suma składa się z \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych składników, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}}\). Ale \(\displaystyle{ (n+1)\cdot\frac{1}{2n}=\frac12+\frac{1}{2n}>\frac12}\), czyli osiągnęliśmy zamierzony cel - nasza liczba \(\displaystyle{ \red{p}}\) to \(\displaystyle{ \red{p}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}.}\)

Bardziej szczegółowo już nie dam rady...

JK

Ty teraz napisałeś że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} }\) a nie powinno być że jest równy\(\displaystyle{ \frac{n}{2n} }\)? Nie wiem czy źle formułuje pytania bo nie możemy się coś dogadać Chodzi mi o jedną prostą rzecz autor na innym forum zapisał te dwie nierówności które dodałeś stronami w sposób uproszczony równy kolejno \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} > \frac{n}{2n} }\). Rozumiem że z sumowania ciągu złożonego z \(\displaystyle{ n}\) składników \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\), ale nie rozumiem jak ten ciąg po lewej stronie jest równy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\) .

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 22:08 Ty teraz napisałeś że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} }\) a nie powinno być że jest równy\(\displaystyle{ \frac{n}{2n} }\)?

A twierdziłeś, że już zrozumiałeś, że w sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\) jest \(\displaystyle{ n+1}\) składników. W sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest tyle samo składników, bo każdy składnik pierwszej sumy jest szacowany z dołu przez składnik drugiej sumy. Czego nie rozumiesz w poniższym wyjaśnieniu?

Jan Kraszewski pisze: ↑29 maja 2023, o 10:30Wiesz, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)

Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)

A skoro w sumie \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n} }\) jest \(\displaystyle{ n+1}\) składników, to \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} +...+ \frac{1}{2n}=\frac{n+1}{2n}.}\)

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 22:08Nie wiem czy źle formułuje pytania bo nie możemy się coś dogadać

Nie, po prostu nie umiesz czytać rozumowań.

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 22:08Chodzi mi o jedną prostą rzecz autor na innym forum zapisał te dwie nierówności które dodałeś stronami w sposób uproszczony równy kolejno \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} > \frac{n}{2n} }\).

Nieprawda, on wcale nie tego nie zapisał "w sposób uproszczony równy kolejno", tylko najpierw dodał i wyszło mu \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\), a potem - w następnym kroku rozumowania - zauważył, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n} > \frac{n}{2n} }\). Ja też to napisałem w swoim wytłumaczeniu, tylko trochę inaczej:

Jan Kraszewski pisze: ↑29 maja 2023, o 20:11Ponieważ zmniejszona suma składa się z \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych składników, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=(n+1)\cdot\frac{1}{2n}}\). Ale \(\displaystyle{ \red{(n+1)\cdot\frac{1}{2n}=\frac12+\frac{1}{2n}>\frac12}}\)

Dynia5 pisze: ↑29 maja 2023, o 22:08Rozumiem że z sumowania ciągu złożonego z \(\displaystyle{ n}\) składników \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\)

Źle rozumiesz, \(\displaystyle{ \frac{n}{2n}}\) nie wychodzi ze zsumowania \(\displaystyle{ n}\) składników (i nikt poza Tobą nie twierdzi, że wychodzi - ani autor na tamtym forum, ani ja), tylko z oszacowania.

JK

edit: doprecyzowanie

Znanym jest też fakt, że:

\(\displaystyle{ \ln \frac{2n+1}{n} \le \sum_{i=n}^{2n} \frac{1}{i} \le \ln \frac{2n}{n-1} }\)

arek1357 pisze: ↑31 maja 2023, o 14:57 Znanym jest też fakt, że:

\(\displaystyle{ \ln \frac{2n+1}{n} \le \sum_{i=n}^{2n} \frac{1}{i} \le \ln \frac{2n}{n-1} }\)

I to piszesz w wątku, gdzie człowiek ma kłopot z dodaniem kilku równych składników?

Przepraszam...