Proszę o wytłumaczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Proszę o wytłumaczenie.
Mam pytanie dlaczego ten ciąg jest równy właśnie tyle skąd to wynika?
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}= \frac{n+1}{2n} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}= \frac{n+1}{2n} }\)
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
A czemu sobie nie sprawdzisz np. dla \(\displaystyle{ n=2}\) ?
Może do tej równości jest dodane jakieś polecenie?
JK
Może do tej równości jest dodane jakieś polecenie?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Jest polecenie:
Udowodnij prawdziwość nierówności stosując zasadę indukcji:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\). Jak to zrobić?
Udowodnij prawdziwość nierówności stosując zasadę indukcji:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\). Jak to zrobić?
Ostatnio zmieniony 28 maja 2023, o 17:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Umieściłem to zadanie na forum zadnia.info tutaj adres-
https://forum.zadania.info/viewforum.php?f=32
. W pierwszym rozwiązaniu autor na końcu przy porównaniu zapisał to wten sposób i nie wiem dlaczego tak jest.-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Nie komentuję rozwiązań z innego forum. Jak chcesz odpowiedzi, to przepisz rozumowanie tutaj. A najlepiej zrób je sam...
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}>0\)
Powinniśmy wywnioskować
\( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2}>0\)
i standardowo w dowodach indukcyjnych:
\(L_N=\color{green}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}-\frac{1}{2}\color{green}{-\frac{1}{n}}{>}0+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\color{green}{-\frac{1}{n}}=\frac{-3n-2}{(2n+1)(2n+2)n}\)
ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo
\(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\) interesuje mnie fragment zaznaczony na czerwono dlaczego jest tutaj \(\displaystyle{ n+1}\) składników i dlaczego to wyrażenie o którym pisałem jest tutaj właśnie tyle równe.
Powinniśmy wywnioskować
\( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2}>0\)
i standardowo w dowodach indukcyjnych:
\(L_N=\color{green}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}-\frac{1}{2}\color{green}{-\frac{1}{n}}{>}0+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\color{green}{-\frac{1}{n}}=\frac{-3n-2}{(2n+1)(2n+2)n}\)
ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo
\(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\) interesuje mnie fragment zaznaczony na czerwono dlaczego jest tutaj \(\displaystyle{ n+1}\) składników i dlaczego to wyrażenie o którym pisałem jest tutaj właśnie tyle równe.
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
MaszDynia5 pisze: ↑28 maja 2023, o 17:53ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo
\(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\) interesuje mnie fragment zaznaczony na czerwono dlaczego jest tutaj \(\displaystyle{ n+1}\) składników i dlaczego to wyrażenie o którym pisałem jest tutaj właśnie tyle równe.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n\blue{+0}}+\frac{1}{n\blue{+1}}+...+\frac{1}{n\blue{+n}}}\)
czyli składników jest \(\displaystyle{ n+1}\) (bo tyle jest liczb od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n}\)).
Potem masz szacowanie z dołu: każdy z tych \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów szacujesz przez najmniejszy z nich, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}.}\) A potem sumujesz \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{2n},}\) więc dostajesz \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}.}\) W swoim wyjściowym poście z jakiegoś powodu zastąpiłeś nierówność równością i dlatego dostałeś nieprawdę.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Dynia5 pisze: ↑28 maja 2023, o 17:53\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}>0\)
Powinniśmy wywnioskować
\( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2}>0\)
i standardowo w dowodach indukcyjnych:
\(L_N=\color{green}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}-\frac{1}{2}\color{green}{-\frac{1}{n}}{>}0+\color{blue}{\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\color{green}{-\frac{1}{n}}=\frac{-3n-2}{(2n+1)(2n+2)n}\)
Dodam, że powyższe dwa fragmenty nie mają ze sobą związku. Pierwszy ilustruje, dlaczego najbardziej bezpośrednia próba dowodu indukcyjnego jest nieskuteczna. Drugi zaś pokazuje (bez indukcji), że problem jest w metodzie a nie w twierdzeniu, bo ono (tj. nierówność) jest prawdziwe.
Jeśli chcesz udowodnić nierówność indukcyjnie, to skorzystaj z rady Icanseepeace z 13:06.
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
A jak wszystkie liczby tutaj są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2n} }\)?A potem sumujesz \(\displaystyle{ n+1}\) identycznych liczb \(\displaystyle{ \frac{1}{2n},}\)
-
- Administrator
- Posty: 34486
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Proszę o wytłumaczenie.
Znasz sformułowanie "oszacowanie z dołu"? Wiesz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)
Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)
JK
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{n+2}>\frac{1}{2n}\\
...\\
\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}\\
\frac{1}{2n}\ge\frac{1}{2n}
}\)
Jak dodasz te nierówności stronami, to dostaniesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}.}\)
JK