kwadratowy układ równań z x i y

[a4karo]

Skorzystałas z poprzedniej wskazówki?

\(\displaystyle{ (x+y) ^2=x^2 +y^2 +2xy}\)

Policz \(\displaystyle{ x+y,}\) a potem wzory Viete'a.

[Niepokonana]

Narysowałam hiperbolę, policzyłam, że \(\displaystyle{ x+y=4}\), co dalej?
Wzory Viete'a? Ale gdzie jest a, b?

Edit: Coś takiego?
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+3}{x}=4}\)

Edit2: Wydaje mi się, że w tym ułamku \(\displaystyle{ b= \frac{1}{3} a\ a=1}\), tylko mi nie pasuje, że \(\displaystyle{ a=1}\)...

[a4karo]

\(\displaystyle{ x+y}\) to nie tylko \(\displaystyle{ 4}\). Masz sumę i iloczyn pierwiastków. Co mówią wzory Viete'a?

[Niepokonana]

Aaa tak -4 też pasuje. Wzory Viete'a mówią, że \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}= \frac{-b}{a}}\)
Ale skąd ja wezmę b i a?

[a4karo]

Wskazowka:
Równanie \(\displaystyle{ ax^2 +bx+c=0}\) ma takie same pierwiastki jak \(\displaystyle{ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}\).

[Niepokonana]

Nie rozumiem.
Jak się ma Twoja wskazówka do
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+3}{x}=4 v =-4}\)?

[a4karo]

A co to jest \(\displaystyle{ v}\) i jak Viete cię najprowadzil na to równanie. (skadinad poprawne)?

Używanie w tym równaniu zmiennej \(\displaystyle{ x}\) nie jest szczęśliwe.

[Niepokonana]

V że równanie równa się cztery albo -4. Aaa dobra, miałam na myśli \(\displaystyle{ \vee}\), pomyliło mi się.
Wzory Viete'a mówią nam, że \(\displaystyle{ \frac{-b}{a}=4 \vee =-4}\)
W sensie, że \(\displaystyle{ b=-x^{2}-3,a=x}\)?

EDIT: Myślę, że najprościej by było, gdybyś rozwiązał to do końca, bez skrótów myślowych, proszę.

[a4karo]

A co mówi drugi wzór Viete?

[Niepokonana]

Drugi wzór mówi, że \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=x_{1}x_{2}}\)

[a4karo]

No to użyj go

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ \frac{c}{a} =xy=3}\)
Tak, to masz na myśli?

[a4karo]

Wiemy, że \(\displaystyle{ xy=3}\) i \(\displaystyle{ x+y=\pm 4}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ x,y}\) sa rozwiązaniami równania kwadratowego, to na mocy wzorów Viete'a ma ono postać \(\displaystyle{ t^2-4t+3=0}\) lub \(\displaystyle{ t^2+4t+3=0}\)


Wylicz te pierwiastki.

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ t=-3 \vee t=-1 \vee t=1 \vee t=3}\)
Uuu, a tego o wzorach Viete'a nie wiedziałam. I mówisz, że to są iksy i teraz już trzeba wyliczyć igreki?

[MrCommando]

Nie, nie tak. Skoro \(\displaystyle{ xy=3}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=4}\), to dzięki wzorom Viete'a wiemy, że \(\displaystyle{ x,y}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(t)=t^2-4t+3}\).

Jak nie wiesz jeszcze o co chodzi, to prześledź wyprowadzenie wzorów Viete'a. Jeżeli \(\displaystyle{ x,y}\) są pierwiastkami pewnego wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to może być on na przykład postaci \(\displaystyle{ W(t)=(t-x)(t-y)}\). Po wymnożeniu tych nawiasów dostajesz \(\displaystyle{ W(t)=t^2-(x+y)t+xy=t^2-4t+3}\). Jak widać współczynnik przy \(\displaystyle{ t}\) to suma pierwiastków wzięta z minusem, a wyraz wolny to po prostu ich iloczyn - zwyczajne wzory Viete'a.

Zatem skoro \(\displaystyle{ x,y}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(t)=t^2-4t+3}\), to widać że \(\displaystyle{ (x,y)=(1,3)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y)=(3,1)}\). Jak potem rozważysz przypadek z \(\displaystyle{ x+y=-4}\) to resztę rozwiązań dostaniesz.