Indukcja matematyczna nierówność

[janusz47]

Ma wiele do rzeczy, w podręcznikach szanujących się autorów, dotyczących zasady indukcji zupełnej zapis z wykorzystaniem kwantyfikatora ogólnego treści zadania jest naturalny, natomiast nienaturalne jest dzielenie przez \(\displaystyle{ 2}\) w kroku indukcyjnym dowodzenia powyższej nierówności metodą indukcji zupełnej.

[Jan Kraszewski]

Ma wiele do rzeczy, w podręcznikach szanujących się autorów, dotyczących zasady indukcji zupełnej zapis z wykorzystaniem kwantyfikatora ogólnego treści zadania jest naturalny,

Ależ tak, tylko że Ty używasz go niepoprawnie.

natomiast nienaturalne jest dzielenie przez \(\displaystyle{ 2}\) w kroku indukcyjnym dowodzenia powyższej nierówności metodą indukcji zupełnej.

Zgoda, to nie jest najbardziej naturalny dowód, ale autor tematu starał sobie jakoś poradzić. Dowód nie musi być naturalny, żeby być poprawny.

JK

[Lider_M]

janusz47, używasz niepoprawnie kwantyfikatorów.

Jeżeli chcemy udowodnić, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{Z}_+}T(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ T(n)}\) jest jakimś zdaniem logicznym zależnym od \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}_+}\), to indukcja, w jej naturalnej formie, polega na:

1. Sprawdzeniu, że \(\displaystyle{ T(1)}\) jest prawdziwe.
2. Udowodnieniu \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{Z}_+}\ \big(T(n)\rightarrow T(n+1)\big)}\).

Wtedy udowadniasz, że prawdziwym jest \(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{Z}_+}T(n)}\).

Ty natomiast zupełnie pomieszałeś te kwantyfikatory.

[janusz47]

Pisząc zdanie dotyczące liczb naturalnych, które chcę udowodnić na początku dowodu metodą indukcji zupełnej za pomocą kwantyfikatora ogólnego nie jest pomieszaniem kwantyfikatorów, ani nie niepoprawnym ich używaniem. Proszę zajrzeć do wspomnianego przeze mnie podręcznika nauki o dowodzeniu twierdzeń metodą indukcji zupełnej.

[a4karo]

\(\displaystyle{ T(n): \bigwedge_{n\geq 5} (2^{n}> n^2)}\)

\(\displaystyle{ 1. T(5): 2^5 > 5^2, \ \ 32>25}\)


(...)

Ten zapis nie trzyma się kupy.

Prawa strona pierwszej linijki nie zależy od \(\displaystyle{ n}\), bo równie dobrze można ją zapisać jako

\(\displaystyle{ \bigwedge_{k\geq 5} (2^{k}> k^2)}\)

A w związku z tym zapis w drugiej linijce jest pozbawiony sensu.

Po drugie, nie do końca wiadomo co oznacza symbol \(\displaystyle{ :}\) (intuicje są niby jasne, ale skoro kwantyfikator sprawia problemy, to ten dwukropek tym bardziej.

[janusz47]

a4karo Pańska krytyka -uwagi nie trzymają się kupy. Niech Pan poczyta polecaną przez ze mnie cieniutką książeczkę Borowikowej-Niczyporowicza na temat dowodzenia twierdzeń metodą indukcji zupełnej, nie zajmie to Panu dużo czasu. Jestem przekonany, że ta lektura ukoi pańską krytykę w stosunku do mojej osoby i pańską fałszywie pojmowaną dokładność.

[Jan Kraszewski]

Jak wiadomo, janusz47 jest odporny na argumenty - nic go nie przekona, że nie ma racji (było już kilka takich przypadków).

Argumenty merytoryczne zostały podane, odpowiedzi nie było. Zamykam tę dyskusję, która niczego nie wnosi w kwestii rozważanego zadania.

JK