Indukcja matematyczna nierówność

[leszlaw]

Witam. Mój problem polega na tym że wydaje mi się że zadanie robię jak najbardziej dobrze tylko nauczyciel twierdzi inaczej.Mógł by mi ktoś powiedzieć gdzie jest błąd w rozumowaniu bo nie ukrywam
że nie zasne jak sie nie dowiem. Gdy zapytałem nauczyciela gdzie jest błąd powiedział mi że nie rozumiem twierdzenia indukcyjnego i mam sie z nim lepiej zapoznać. Oto moje rozwiązanie:

Zadanie. Udowodnij przy pomocy indukcji:

\(\displaystyle{ 2^{n}>n^2}\) \(\displaystyle{ dla}\) \(\displaystyle{ n \ge 5}\)

Korzystam z ogólnej zasady indukcji matematycznej.

1) Sprawdzam prawdziwość zdania dla \(\displaystyle{ n=5}\)

\(\displaystyle{ L=2^5=32}\)

\(\displaystyle{ P=5^2=25}\)

\(\displaystyle{ L>P}\)

Prawda dla \(\displaystyle{ n=5}\)

2)Załóżmy że nierówność jest prawdziwa dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \ge 5}\)

\(\displaystyle{ 2^k>k^2}\)

3)Korzystając z założenia sprawdzam prawdziwość dla \(\displaystyle{ k+1}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{k+1}>(k+1)^2}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot 2^k>k^2+2k+1}\)

\(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\)

Teraz stosuje taki myk który jest rzekomo błędem.

Jeśli nierówność jest prawdziwa \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) to tym bardziej będzie prawdziwa gdy \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) bo \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\) ( Czyli dowodzimy to jeszcze mniejszą liczbą to tym bardziej powinna to być prawda na przykład zamiast \(\displaystyle{ 4>2}\) mamy \(\displaystyle{ 3>2}\) )

Przekształcam i mam \(\displaystyle{ k^2-2k-1>0}\)

rysuje parabole wyznaczam miejsca zerowe i wychodzi że równanie jest prawdziwe dla

\(\displaystyle{ k>1+ \sqrt{2} \vee k<1- \sqrt{2}}\)

no i to jest prawda dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)

Udowodniliśmy że jeśli nierówność \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\) jest prawdziwa to nierówność \(\displaystyle{ 2 ^{k+1}>(k+1)^2}\) też jest prawdziwa i jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k=5}\) więc jest prawdziwa dla wszystkich liczb \(\displaystyle{ n \ge 5}\).

[Rafsaf]

Musiałbyś udowodnić że nie zajdzie taki przypadek.
\(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}>k^2}\)

Ogólnie można szacować przy nierównościach, ale nie w tę stronę co zaproponowałeś, jeśli
dla przykładu mamy założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ 2 ^{k} > k ^{2}}\) to z całą pewnością \(\displaystyle{ 2 ^{k}+5 > 2 ^{k} > k ^{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ 2 ^{k}+5 > k ^{2}}\)

Druga sprawa,
Jeśli nierówność jest prawdziwa \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) to tym bardziej będzie prawdziwa gdy \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) bo \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\)

Tutaj zakładasz a priori że ta pierwsza jest prawdziwa, skąd ta pewność, skoro masz to dopiero udowodnić? Nawet jeśli byś to legalnie szacował(a tego nie robisz, patrz 1 zdanie), to i tak takie wnioski byłyby do bani.

[Janusz Tracz]

By pokazać wynikanie \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\) przekształciłeś tezę \(\displaystyle{ T(k+1)}\) do postaci równoważnej a potem chciałeś zastosować założenie indukcyjne. Problem w tym że napisałeś

Jeśli nierówność jest prawdziwa \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) to tym bardziej będzie prawdziwa gdy \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) bo \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\)

No nie. Po pierwsze błędem jest tak napisać bo to masz udowodnić. Po drugie nie w tą stronę działają znaki nierówności. Z tego że \(\displaystyle{ a>c}\) oraz \(\displaystyle{ a>b}\) nie wynika żadna relacja między \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) może być \(\displaystyle{ b>c}\) a może tak nie być. Ty chcesz pokazać \(\displaystyle{ T(k+1)}\) zakładając że \(\displaystyle{ T(k)}\) więc prawidłowym pytaniem powinno być czy nierówność \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) jest spełniona? Jeśli jest to przechodniość nierówności kończy dowód oraz tw. o indukcji.

[leszlaw]

Dobra skasujmy to cytowane przez was zdanie i zamieńmy je na coś takiego:

Jeśli nierówność jest prawdziwa \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) to jak wykażemy że
prawdziwa jest \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\) bo \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\) to równanie też będzie prawdą ( Czyli dowodzimy to jeszcze mniejszą liczbą to tym bardziej powinna to być prawda na przykład zamiast \(\displaystyle{ 4>2}\) mamy \(\displaystyle{ 3>2}\) )

i co teraz nadal jest błąd bo jakoś nie kumam :/

[Jan Kraszewski]

Napisane jest tragicznie.

Poprawnie byłoby tak:

Jeśli wykażemy, że prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ k^2> \frac{k^2+2k+1}{2}}\), to z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\) i przechodniości nierówności wywnioskujemy, że \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\), co należało dowieść.

JK

[leszlaw]

To teraz pytanie co mam powiedzieć nauczycielowi na studiach XD jak sie zaczne z nim kłócić to sie na mnie uweźmie. Trudno będe to zadanie na sprawdzianach robił jego durnymi sposobami.

[Jan Kraszewski]

Ale co uważasz za "jego durny sposób"? To co proponowałeś powyżej w formalnego punktu widzenia było do niczego. Czy to nauczyciel tak rozwiązał zadanie?

JK

[leszlaw]

To co napisałem wyżej jest błędne ale nauczycielowi nie chodziło o to. Mu chodziło o to że za \(\displaystyle{ 2^k}\) nie poge podstawic \(\displaystyle{ k^2}\). I nadal nie znam odpowiedzi dla czego tak sądzi i czy jest to błędem czy nie jeśli właściwie to opisze.

[Jan Kraszewski]

Napisałem Ci, jak to powinno być poprawnie opisane. Twój opis jest do niczego (nawet jeśli masz dobry pomysł), a to Twoim zadaniem jest poprawnie sformułować swoje myśli. Wykładowca nie ma obowiązku domyślać się, o co tak naprawdę Ci chodziło.

Już początek

Jeśli nierówność jest prawdziwa \(\displaystyle{ 2^k> \frac{k^2+2k+1}{2}}\)

jest do niczego, bo to jest TEZA, którą masz wykazać, więc przypuszczanie, że jest prawdziwa, jest niedopuszczalne.

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ T(n): \bigwedge_{n\geq 5} (2^{n}> n^2)}\)

\(\displaystyle{ 1. T(5): 2^5 > 5^2, \ \ 32>25}\)

\(\displaystyle{ 2. T(k) \rightarrow T(k+1): \bigwedge_{k\geq 5} [ 2^{k}>k^2 \rightarrow 2^{k+1}>(k+1)^2]}\)

Dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ k\geq 5}\)

\(\displaystyle{ (k-1)^2\geq 4^2 >2}\) (*)

Przekształcając nierówność (*):

\(\displaystyle{ k^2 - 2k +1>2 \ \ | -2}\)

\(\displaystyle{ k^2 -2k -1 >0 \ \ |+k^2}\)

\(\displaystyle{ 2k^2 - 2k -1 > k^2 \ \ |+2k+1}\)

\(\displaystyle{ 2k^2 > k^2 +2k +1 = (k+1)^2}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \bigwedge_{k\geq 5} 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} > 2k^2 > (k+1)^2.}\)

Zdanie \(\displaystyle{ T(5)}\) jest prawdziwe.
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) z prawdziwości zdania \(\displaystyle{ T(k)}\) wynika prawdziwość zdania \(\displaystyle{ T(k+1),}\) wobec tego spełnione są założenia twierdzenia o zasadzie indukcji zupełnej. Zatem na podstawie zasady indukcji zupełnej zdanie \(\displaystyle{ T(n)}\) jest prawdziwe, co należało wykazać.

[Lider_M]

janusz47, źle opisałeś. M.in.: na pewno \(\displaystyle{ T(n)}\) jest z kwantyfikatorem w pierwszej linii?

[janusz47]

Dlaczego miałby nie być?

[Jan Kraszewski]

Z tej prostej przyczyny, że \(\displaystyle{ T(n)}\) to \(\displaystyle{ 2^{n}> n^2}\). Po zakwantyfikowaniu dostajesz tezę zadania, która nie zależy od \(\displaystyle{ n}\).

JK

[janusz47]

Patrz na przykład:

Nadzieja Borowikowa, Eugieniusz Niczyporowicz: Indukcja Zupełna w Zadaniach strona 49 jak są formułowane treści zadań dotyczące Indukcji bez filozofii "kwantyfikowania".

[Jan Kraszewski]

januszu47, nie muszę nigdzie patrzeć by wiedzieć, że to niepoprawny zapis. To, że znalazłeś go w jakiejś książce nie zmienia jego formalnej niepoprawności. Filozofia nie ma tu nic do rzeczy.

JK