Czy liczba 0,(9) istnieje?

[Brombal]

A jaką ma wartość "take cóś".
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1-0,(9)}}\)

Pytanie jak najbardziej seryjne.

Dalej to już nie bardzo.

[AiDi]

Zapis jest bez sensu, ale domyślając się, że chodzi Tobie o granicę to odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 0}\) . By granica wyniosła \(\displaystyle{ 1}\) pod pierwiastkiem musi być liczba dodatnia.

[Brombal]

Zapis jest bez sensu, ale domyślając się, że chodzi Tobie o granicę to odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 0}\) . By granica wyniosła \(\displaystyle{ 1}\) pod pierwiastkiem musi być liczba dodatnia.

Bardzo zdecydowana odpowiedź

Czy zapis:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{0} =0}\) jest również bez sensu?
albo:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1} =1}\) ?

Zapiszmy w takim razie to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} =0}\) ?
Albo dokładniej:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ 1- \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{9}{{ 10}^{k}}} =0}\) ?
A zapiszmy to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \lim_{ k\to \infty } \frac{1}{10^k} } =0}\)
Ja tu taki pewny \(\displaystyle{ 0}\) nie jestem. Zbyt dużo \(\displaystyle{ \infty}\) .
Możesz wskazać jak to rozpisać?

[a4karo]

Brombal, jesteś już duży i powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ \infty}\) nie jest liczbą. I w związku z tym nie ma sensu używanie wobec niej takich zasad jakie stosuje się do liczb. Jest to takie samo faux-pas, co jedzenie ryby nożem.

[AiDi]

\(\displaystyle{ 1-0,(9)=0, \sqrt[n]{0}=0, \lim_{n\rightarrow \infty}0=0}\)
Żadna magia.

[Brombal]

Zawsze jem rybę nożem.

Przyjąłem również, że a4karo zażartował sobie z dużego Brombala pisząc \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) .

Postanowiłem ostatni zapis przedstawić nieco inaczej (Co wydaje się nieco naciągane, a właściwie dlaczego naciągane?).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n} }}\)

Wstawiłem sobie toto do arkusza by luknąć na tendencję ...

I wyszło po a4karo-wsku \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) .
Teraz tylko skracamy jedynki i zostaje \(\displaystyle{ 0}\) .

Prorok!!!

-- 4 sty 2018, o 19:34 --

AiDi
Ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ 1-0,(9) = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{10^n}}\)
Może być?

[a4karo]

Zapis \(\displaystyle{ \sqrt[\infty]{1-0,(9)}}\) przy bardzo dużej dozie dobrej woli można zinterpretować jako granica wyrażenia:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1-0.99...9}=\sqrt[n]{1/10^n}=1/10}\)

ale nie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n} }}\) , bo to z kolei równa się zero.

[Brombal]

Zrozumiałem ale nie pojmuję.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n} }=0}\)
a
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{10^n} }= \frac{1}{10}}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\ }}\) jest mniej ważny niż \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n}}\) ? Tylko dlatego, że najpierw oblicza się to co pod pierwiastkiem a potem sam pierwiastek?
Pozostanę w sekcie wątpiących wyznawców razem z wyznawcami płaskości Ziemi.

P.S. a4karo - próbowałeś może pobawić się moją tabeleczką viewtopic.php?t=427413 - najbardziej byłem ciekaw Twojego zdania.

[a4karo]

Nie jest mnij ważny, tylko liczysz granicę z wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n} }}\), a to wyrażenie jest po prostu równe zero.

Na twoją tabeleczkę nawet nie spojrzałem, bo nie mam zamiaru tracić czasu na domyślanie się, co autor chciał powiedzieć, tylko po to, żeby potem się dowiedzieć, że przecież chodziło o coś zupełnie innego.
Napisz to porządnie, w postaci algorytmu, który nie przedstawi żadnych wątpliwości co go jego stosowania, to może...

[Brombal]

Na twoją tabeleczkę nawet nie spojrzałem, bo nie mam zamiaru tracić czasu na domyślanie się, co autor chciał powiedzieć, tylko po to, żeby potem się dowiedzieć, że przecież chodziło o coś zupełnie innego.
Napisz to porządnie, w postaci algorytmu, który nie przedstawi żadnych wątpliwości co go jego stosowania, to może...

Załączyłem coś być może czytelniejszego...viewtopic.php?t=427413

-- 6 sty 2018, o 13:44 --

Zapis \(\displaystyle{ \sqrt[\infty]{1-0,(9)}}\) przy bardzo dużej dozie dobrej woli można zinterpretować jako granica wyrażenia:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1-0.99...9}=\sqrt[n]{1/10^n}=1/10}\)

ale nie \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{10^n} }}\) , bo to z kolei równa się zero.

Wiem, że to walka z wiatrakami ale nie daje mi to spokoju .
a4karo napisał z grubsza coś takiego

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} = \frac{1}{10}}\) czy zgadzasz się z tym zapisem? Czy tylko ja wykorzystuję bardzo dużo dobrej woli?

[lichotka]

No chyba żartujecie wy wszyscy razem wzięci
Czyham na "Tajemnicę Alefów" by sobie przypomnieć o nieskończonościach i póki co pytam poważnie!

[AiDi]

Więc poważnie te liczby są sobie równe.

[Brombal]

To, że są równe to oczywiste - pytanie czy są tożsame?
Inaczej czy poddane tym samym wszystkim 'eksperymentom' dadzą identyczny wynik.
Np. Zlimesowanie pierwiastka n-tego stopnia z (1- cóś) dla n dążącego do nieskończoności...

pozdrwiam

[AiDi]

Wszystkie poprawne i poprawnie wykonane operacje dadzą to samo. Jeśli wyjdzie Ci inaczej, to znaczy, że popełniłeś gdzieś błąd.

[Brombal]

Gdzie jest błąd?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} = \frac{1}{10}}\)


czy może jednak jest tak?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-0,(9)} =0}\)

bo tego jestem pewien

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-1} = 0}\)