Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
A ja jestem zwykły czubek i pojechać z funkcją lubię.
7.:
Niech \(\displaystyle{ x_i- \prod_{j=1}^{n}x_j =-(2a_i+1), \ a_i \in \ZZ, \ i=1,\ldots n, n \ge 2}\)
Zatem \(\displaystyle{ t= \prod_{i=1}^{n}x_i}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ t= \prod_{i=1}^{n}(t-2a_i-1)}\)
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ i_0 \in\left\{1, \ldots n\right\}}\), że \(\displaystyle{ x_{i_0}\in \QQ}\). Z tego natychmiast wynika, że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}x_i \in \QQ}\).
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ P(t)= \prod_{i=1}^{n}(t-2a_i-1)-t}\).
Oczywistym jest, że ma on współczynniki całkowite, ponadto jest to wielomian stopnia \(\displaystyle{ n\ge 2}\).
Jego wyrazem wolnym jest \(\displaystyle{ (-1)^n \prod_{i=1}^{n}(2a_i+1) \in \ZZ}\), zaś jego współczynnik wiodący wynosi \(\displaystyle{ 1}\) (tj. jest to wielomian unormowany), więc na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych dostajemy, że aby zachodziło \(\displaystyle{ P(t)=0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \QQ}\), musi być \(\displaystyle{ t \in \ZZ}\),
czyli \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}x_i \in \ZZ}\)
Skoro więc wszystkie liczby \(\displaystyle{ x_i, i\in\left\{ 1, \ldots n\right\}}\) różnią się od całkowitego,
i nieparzystego, dodajmy, z uwagi na \(\displaystyle{ 2\nmid \prod_{i=1}^{n} (2a_i+1)}\), \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}x_i}\) o liczbę całkowitą nieparzystą, to wszystkie one są parzyste. Ale to jest sprzeczność, bo iloczyn jest nieparzysty (co wynika z tw. o pierwiastkach wymiernych dla powyższego wielomianu; żadna liczba całkowita parzysta nie dzieli \(\displaystyle{ (-1)^n\prod_{i=1}^{n} (2a_i+1)}\)).
Odpowiedź: TAK.
w zasadzie to jest prawie to samo co zrobił Premislav
jak już mamy \(\displaystyle{ f(1)=1}\) i \(\displaystyle{ f(x+1)=f(x)+1+2x}\) to przez indukcję pokazujemy \(\displaystyle{ f(x+n)=f(x)+2nx+n^2}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) całkowite dodatnie
stąd wychodzi \(\displaystyle{ f(n)=n^2}\) dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitych dodatnich i w takim razie dla \(\displaystyle{ m,n}\) całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ f\left(n+\frac mn\right)=f(n)+\frac{f(m)}{f(n)}+2m=n^2+\frac{m^2}{n^2}+2m}\)
stąd dla dowolnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ \frac mn}\) mamy \(\displaystyle{ f\left(\frac mn\right)=f\left(n+\frac mn\right)-2n\cdot \frac mn - n^2 = \left(\frac mn\right)^2}\)
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2017, o 22:05 przez timon92, łącznie zmieniany 1 raz.
Niech środkiem danego okręgu będzie punkt \(\displaystyle{ O}\), a jego promieniem \(\displaystyle{ r}\). Środkiem odcinka \(\displaystyle{ left| AB
ight|=2x}\) niech będzie punkt S. Rysuję symetralną odcinka AB i konstruuję do niej prostą prostopadłą która przechodzi przez \(\displaystyle{ O}\). Jej przecięcie z symetralną to punkt \(\displaystyle{ T}\). Wprowadzam oznaczenia : \(\displaystyle{ left| ST
ight|=a}\) , \(\displaystyle{ left| OT
ight|=b}\), a \(\displaystyle{ R}\) to promień szukanego okręgu.
Zachodzi równanie: \(\displaystyle{ ( sqrt{R^2-x^2} )^2 =left( a pm sqrt{R^2-r^2}
ight)^2+b^2\
2asqrt{R^2-x^2} =left| a^2+b^2+r^2-x^2
ight|}\)
Stosując tw.Pitagorasa konstruuję odcinek \(\displaystyle{ p}\) \(\displaystyle{ left| a^2+b^2+r^2-x^2
ight| =left| c^2+r^2-x^2
ight| =left| d^2-x^2
ight|=p^2}\)
a równanie przybiera postać: \(\displaystyle{ 2asqrt{R^2-x^2} =p^2\
frac{sqrt{R^2-x^2}}{p}= frac{p}{2a}}\)
Z tw. Talesa konstruuję odcinek \(\displaystyle{ e}\) : \(\displaystyle{ frac{e}{p}= frac{p}{2a}}\)
a równanie przybiera postać: \(\displaystyle{ R^2-x^2 =e^2}\)
z którego stosując tw.Pitagorasa dostaję szukany promień \(\displaystyle{ R}\).
Konstrukcja jest niemożliwa gdy punkty A, B i O są współliniowe.
21:
Wszystkie trójkąty w których dwie środkowe są prostopadłe można wpisać w prostokąty tak, że tworzą je: wybrany wierzchołek prostokąta i środki jego boków nie zawierających wybranego wierzchołka.
Jeżeli bokami prostokąta będą \(\displaystyle{ 2a}\) i \(\displaystyle{ 2b}\), a bokami trójkąta \(\displaystyle{ x,y,z}\) to zachodzą związki: \(\displaystyle{ egin{cases} x^2=a^2+b^2 \ y^2=a^2+(2b)^2 \ z^2=(2a)^2+b^2end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ left( x,y,z in NN_+
ight) wedge left( y>x
ight) wedge left( z>x
ight)}\)
Układ sprowadza się do równania diofantycznego: \(\displaystyle{ y^2+z^2=5x^2}\) którego rozwiązania o małych naturalnych bokach są w 424209.htm
Najmniejszy obwód ma trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 13,19,22}\).
W tym układzie równań jest 49 czynników z których każdy wynosi +1 lub -1
czyli musi być przynajmniej 25 czynników równych między sobą.
w tych 25 czynników jest tylko siedem różnych \(\displaystyle{ a_{i}}\) znaczy że istnieją takie
dwa czynniki nie dość , że równe ale o równych \(\displaystyle{ a_{i}}\)
czyli istnieją takie i, j, k, l że:
\(\displaystyle{ s_{i}-a_{j}=s_{k}-a_{l}}\)
że wyjdzie:
albo:
\(\displaystyle{ s_{i}=s_{k}}\) dla: \(\displaystyle{ i \neq j}\)
