[Rozgrzewka przed maturą II] Zadania różne

[Zahion]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n | n^{2} + 1}\) skąd \(\displaystyle{ n | n^{2} - n^{2} + 1 = 1}\), więc \(\displaystyle{ n = 1}\)

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą bokami trójkąta, wykazać, że \(\displaystyle{ ab + b^{2} + ca > c^{2}}\).

[Hayran]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ ab + b^{2} + ca > c^{2}\iff a(b+c)+b^2-c^2>0\iff a(b+c)+(b-c)(b+c)>0\iff (a+b-c)(b+c)>0}\),

a ta nierówność jest prawdziwa: lewa strona, jako iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatnia

Dane są takie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), że \(\displaystyle{ ab=cd}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) to liczba złożona.

[Zahion]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a = \frac{cd}{b} \Rightarrow a + b + c + d = \frac{cd}{b} + b + c + d = \frac{\left( b+c\right)\left( b+d\right) }{b}}\) i \(\displaystyle{ b + c > b , b + d > b}\)

Dla różnych od zera :
\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \le \frac{a^{6}}{b^{2}} + \frac{b^{6}}{a^{2}}}\)

[Hayran]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} \le \frac{a^{6}}{b^{2}} + \frac{b^{6}}{a^{2}}
\iff a^6b^2+a^2b^6\le a^8+b^8\iff a^8-a^6b^2+b^8-a^2b^6\ge 0\iff (a^6-b^6)(a^2-b^2)\ge 0}\),

a to prawda, gdyż oba czynniki są tego samego znaku (oba dodatnie lub obaujemne lub oba równe 0)

Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjmować wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|}}\)

[Zahion]

Ukryta treść:    

Jeśli wszystkie z liczb są dodatnie lub ujemne, to oczywiście \(\displaystyle{ \pm 4}\). W momencie w którym jedna lub dwie są dodatnie, to mamy wartość \(\displaystyle{ 0}\).

Niech \(\displaystyle{ a + c = b + d = 1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a + b + cd \ge 1}\) w nieujemnych.

[Larsonik]

Ukryta treść:    

Mamy z założenia \(\displaystyle{ d = 1 - b}\) oraz \(\displaystyle{ c = 1 - a}\). A więc \(\displaystyle{ a + b + cd = a + b + (1 -b)(1 - a) = ab + 1 \ge 1}\), a to jest prawda, ponieważ skoro \(\displaystyle{ a, b \ge 0}\), to również \(\displaystyle{ ab \ge 0}\). Po dodaniu stronami jedynki mamy tezę.

Udowodnij, że dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a, b, c, d}\), przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}, \frac{b+c}{d}, \frac{c+d}{a}, \frac{d+a}{b}}\), jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2}\)

[dec1]

Ukryta treść:    

Przypuśćmy nie wprost, że każda z tych liczb jest mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ a+b<2c}\), \(\displaystyle{ b+c<2d}\), \(\displaystyle{ c+d<2a}\) i \(\displaystyle{ a+d<2b}\). Dodając te nierówności stronami otrzymujemy \(\displaystyle{ 2a+2b+2c+2d<2a+2b+2c+2d}\), sprzeczność.

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb R}\). Wyznacz punkt leżący na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f}\) najbliżej punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).

[Larsonik]

Jest ok?

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ P = (4,0)}\) a \(\displaystyle{ A = (x , x^3)}\), wówczas \(\displaystyle{ \left| AP \right| = \sqrt{ (x - 4)^2 + x^6}}\). Chcemy, aby tak odległość była najmniejsza z możliwych, więc rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ g(x) = x^6 + x^2 - 8x + 16}\), aby znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia podpierwiastkowego.
\(\displaystyle{ g'(x) = 6x^5 + 2x - 8 = (2x - 2)(3x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 3x + 4)}\), zatem widać, że miejscem zerowym pochodnej jest \(\displaystyle{ 1}\). Zauważmy, że drugi czynnik pochodnej dla \(\displaystyle{ x > 0}\) jest dodatni, więc pochodna zmienia znak w punkcie \(\displaystyle{ 1}\) z ujemnego na dodatni i mamy w tym punkcie również minimum lokalne - \(\displaystyle{ g'(x) < 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0; 1)}\) oraz \(\displaystyle{ g'(x) > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (1 ; \infty )}\). Jednocześnie widzimy, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (1 ; \infty )}\). Należy jeszcze ustalić, że poszukiwany przez nas punkt musi mieć pierwszą współrzędną dodatnią - widać to z wykresu. Zatem poszukiwany punkt to \(\displaystyle{ P=(1,1)}\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie \(\displaystyle{ ( \cos x + a)( \sin^{2} x - a) = 0}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ [0 ; 2 \pi ]}\) dokładnie trzy różne rozwiązania.

Edytuję, żeby nie robić bałaganu. Premislav, \(\displaystyle{ 3x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 3x + 4> 4 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), a mi chodziło w rozwiązaniu tylko o dodatnie wartości \(\displaystyle{ x}\).

[Premislav]

Wyprzedzono mnie z tym samym rozwiązaniem. Tak, jest OK, tylko trzeba uzasadnić, że
\(\displaystyle{ 3x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 3x + 4>0}\)
Ja to trochę inaczej zapisałem: \(\displaystyle{ 6x^5+2x-8=6(x^5-1)+2(x-1)}\) i wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x^5>1 \Leftrightarrow x>1}\)
Wszystkiego najlepszego, dec1.

[loitzl9006]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( \cos x+a\right) \left( \sin^2 x-a\right) =0\\ \cos x+a=0 \ \ \vee\ \ \sin^2x-a=0\\ \cos x = -a \ \ \vee\ \ \sin^2x=a}\)

Z wykresu funkcji \(\displaystyle{ \sin^2x}\) wynika, że równanie \(\displaystyle{ \sin^2x=a}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ x\in \left\langle 0, \ 2\pi\right\rangle}\):
dwa różne rozwiązania: \(\displaystyle{ x_1=\frac{\pi}2, \ x_2=\frac{3\pi}2}\) dla \(\displaystyle{ a=1}\)
trzy różne rozwiązania: \(\displaystyle{ x_1=0, \ x_2=\pi, \ x_3=2\pi}\) dla \(\displaystyle{ a=0}\)
cztery różne rozwiązania dla \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\).

Z wykresu \(\displaystyle{ \cos x}\) wynika, że równanie \(\displaystyle{ \cos x=-a}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ x\in \left\langle 0, \ 2\pi\right\rangle}\):
jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x_1=\pi}\) dla \(\displaystyle{ -a=-1\ \to \ a=1}\)
dwa różne rozwiązania dla \(\displaystyle{ -a\in(-1,1\rangle}\)

Ponieważ dla \(\displaystyle{ a<0}\) równanie \(\displaystyle{ \sin^2x=a}\) jest sprzeczne (w liczbach rzeczywistych) a równanie \(\displaystyle{ \cos x=-a}\) ma co najwyżej dwa rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ x\in \left\langle 0, \ 2\pi\right\rangle}\), to \(\displaystyle{ \left( \cos x+a\right) \left( \sin^2 x-a\right) =0}\) nie może mieć trzech różnych rozwiązań dla \(\displaystyle{ a<0}\)

Ponieważ dla \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) równanie \(\displaystyle{ \sin^2x=a}\) ma cztery różne rozwiązania, to warunki zadania mogą jedynie zachodzić dla \(\displaystyle{ a=0}\) lub \(\displaystyle{ a=1}\).

Dla \(\displaystyle{ a=0}\) jest \(\displaystyle{ 5}\) różnych rozwiązań:

\(\displaystyle{ \cos x = 0 \ \to \ x_1=\frac{\pi}2, \ \ x_2=\frac{3\pi}2 \\ \sin^2x=0 \ \to \ x_3=0, \ \ x_4=\pi, \ \ x_5=2\pi}\)

Dla \(\displaystyle{ a=1}\) istnieją \(\displaystyle{ 3}\) różne rozwiązania:

\(\displaystyle{ \cos x=-1\ \to \ x_1=-\pi \\ \sin^2x=1\ \to \ x_2=\frac{\pi}2, \ \ x_3=\frac{3\pi}2}\)

Zatem jedyną szukaną wartością parametru \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ 1}\)

***
Wykresem funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ g}\) jest parabola przecinająca oś \(\displaystyle{ x}\) w punktach \(\displaystyle{ A=(-4, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ B=(2,0)}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{g(1)}{g(-6)}=-\frac5{16}}\).

[dec1]

Dzięki Przemek

Ukryta treść:    

Z warunków wynika, że wzór tej funkcji to \(\displaystyle{ a(x-2)(x+4)=a(x^2+2x-8)}\), a więc \(\displaystyle{ \frac{g(1)}{g(-6)}=\frac{1+2-8}{36-12-8}=-\frac 5{16}}\)

Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.

[RCCK]

dec1, wzorem funkcji nie jest przypadkiem \(\displaystyle{ a(x-2)(x+4)}\) ? Wynik się zgadza, ale to raczej ważne.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (a-3)^2+(a-2)^2+(a-1)^2=a}\)
\(\displaystyle{ 3a^2-13a+14=0}\)
\(\displaystyle{ (a-2)(3a-7)=0}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest całkowite to rozwiązaniem są liczby \(\displaystyle{ (-1,0,1,2)}\)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) , funkcja
\(\displaystyle{ f(x ) = (x- a)(x -b)+ (x- b)(x - c)+ (x- c)(x- a)}\)
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

[Premislav]

fajne, choć proste:    

Mamy \(\displaystyle{ f(a)=(a-b)(a-c), f(b)=(b-c)(b-a), f(c)=(c-a)(c-b)}\)
Zatem \(\displaystyle{ f(a)f(b)f(c)=-(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \le 0}\).
Ponadto
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)+f(c)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca= \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \ge \\ \ge0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) parami różne, to nierówności są ostre, a więc dokładnie jedna spośród \(\displaystyle{ f(a),f(b),
f(c)}\) jest ujemna (nie mogą być wszystkie, bo suma jest dodatnia, a nie mogą być dokładnie dwie, bo iloczyn byłby dodatni). Stąd \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość dodatnią i przyjmuje wartość ujemną. Ale \(\displaystyle{ f}\) jest trójmianem kwadratowym, więc z tego wynika, że ma miejsce zerowe (na upartego można jeszcze z Darboux uzasadniać, powołując się na ciągłość funkcji wielomianowych).
Natomiast jeśli któreś z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są równe, to teza jest trywialna, bo któraś z \(\displaystyle{ f(a), f(b),
f(c)}\) (a nawet co najmniej dwie) jest równa zero.

[RCCK]

Fajne rozwiązanie, na pewno ciekawsze niż moje. Ja wymnożyłem na pałę i udowodniłem, że \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), co sprowadzało się do prostej nierówności \(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3ab+3bc+3ac}\)

[Premislav]

To wrzucę nowe zadanie. Trzeba ćwiczyć planimetrię i stereometrię, bo reszta na maturze nie może sprawić problemu.

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) proste zawierające dwusieczne kątów poprowadzonych z wierzchołków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 45^{\circ}.}\) Wiedząc, że \(\displaystyle{ AC = 2}\) i \(\displaystyle{ BC = 6}\), oblicz:
- długość boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\);
- długość środkowej trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).