2 równania różniczkowe

[mortan517]

Bardzo dziwne podejście do studentów, no ale niektórzy są zdania, że na wykładach nie ma być prawie nic, a student ma się sam uczyć. Oczywiście, że nauka poza zajęciami jest okropnie ważna, ale na wykładach/ćwiczeniach powinna być przekazana elementarna wiedza.

[Klaudia_Joanna]

mortan517, jestem tego samego zdania, jednak szkoda słów na mojego prowadzącego, inni mieli więcej szczęścia. Nikt by nie chciał uczestniczyć w takich "ćwiczeniach".

Dalsza część przykładu 1:
\(\displaystyle{ y _{p}= Ae ^{2x}+Bx+ C}\)
\(\displaystyle{ y _{p'}=2Ae ^{2x}+B}\)
\(\displaystyle{ y _{p''}=4Ae ^{2x}}\)

\(\displaystyle{ 4Ae ^{2x}-4(2Ae ^{2x}+B)+3(Ae ^{2x} +Bx+C)=e ^{2x}+x}\)
\(\displaystyle{ 4Ae ^{2x}-8Ae ^{2x}-4B+3Ae ^{2x}+3Bx+3C=e ^{2x}+x}\)
\(\displaystyle{ -Ae ^{2x}+3Bx-4B+3C=e ^{2x}+x}\)

Dalej rozwiązywałam układ równań, wyszło:
\(\displaystyle{ A=-1}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ y _{p} = -e ^{2x} + \frac{1}{3}x+ \frac{4}{9}}\)

\(\displaystyle{ y= y _{j}+y _{p}}\)
\(\displaystyle{ y= C _{1}e ^{3x}+C _{2}e ^{x} -e ^{2x} + \frac{1}{3}x+ \frac{4}{9}}\)

jest w porządku??

[mortan517]

Bardzo dobrze, możemy przejść do drugiego, nie musisz pisać wszystkich rachunków.

W drugim będzie mały haczyk, nie wiem czy wspomniano o tym na ćwiczeniach, ale wyjdzie w trakcie.

[Klaudia_Joanna]

mortan517, właśnie w tym drugim nie wiem czy \(\displaystyle{ y _{p} = Ax+B}\) czy \(\displaystyle{ Ax+B+C}\) tak jak na górze napisałam. A może w ogóle przenieść tą 1 na lewą stronę? tylko co to da i nie wiem czy można.

[mortan517]

Nie można. Mamy wielomian \(\displaystyle{ x+1}\) pierwszego stopnia, więc przewidujemy ogólny wielomian \(\displaystyle{ Ax+B}\) i teraz uwaga, jeżeli \(\displaystyle{ 0}\) jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego to przewidujemy \(\displaystyle{ x^k(Ax+B)}\).

[Klaudia_Joanna]

Pierwszy raz to na oczy widzę i teraz nie wiem co robić

[mortan517]

Dlatego przeczytaj jeszcze raz mój post i zastanów się jak to przewidujemy.

Jeżeli \(\displaystyle{ 0}\) jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego... u ciebie jest? A jak tak to ilu-krotny?

[Klaudia_Joanna]

u mnie \(\displaystyle{ 0}\) to chyba pierwiastek jednokrotny, więc postać przewidywana to:

\(\displaystyle{ x(Ax+B)}\) czyli \(\displaystyle{ Ax ^{2}+Bx}\)

?

[mortan517]

Zgadza się.

[Klaudia_Joanna]

No to na pewno wpadłabym na to "na bieżąco" przy rozwiązywaniu ...

czyli
\(\displaystyle{ y _{p}= Ax ^{2}+Bx}\)
\(\displaystyle{ y _{p'}= 2Ax+B}\)
\(\displaystyle{ y _{p''}=2A}\)

Rozwiązując układ równań wychodzi"
\(\displaystyle{ A=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ B=-1}\)

i mam \(\displaystyle{ y _{p}=- \frac{1}{2}x ^{2}-1}\)
tak?

[mortan517]

Prawie dobrze \(\displaystyle{ y _{p}=- \frac{1}{2}x ^{2}-x}\)

[Klaudia_Joanna]

mortan517, a no przecież nie zauważyłam, serdeczne dzięki za pomoc

[Mariusz M]

Klaudio sposób który przedstawię jest bardziej ogólny i pozwoli problem
rozwiązywania równań liniowych zwyczajnych sprowadzić do rozwiązywania równań liniowych zwyczajnych jednorodnych

\(\displaystyle{ y''-4y'+3y= e ^{2x}+x}\)
\(\displaystyle{ y''-2y'=2x+1}\)



\(\displaystyle{ y''-4y'+3y=e^{2x}+x\\
y''-4y'+3y=0\\
y=e^{\lambda x}\\
\lambda^2e^{\lambda x}-4\lambda e^{\lambda x}+3e^{\lambda x}=0\\
\lambda^2-4\lambda+3=0\\
\left( \lambda-3\right)\left( \lambda-1\right)=0\\}\)

Całka ogólna równania jednorodnego to

\(\displaystyle{ y_{j}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}}\)

Zakładasz że całka szczególna równania niejednorodnego jest postaci

\(\displaystyle{ y_{s}\left( x\right)=C_{1}\left( x\right)e^{x}+C_{2}\left( x\right)e^{3x}}\)

Wstawiasz całkę szczególną do równania różniczkowego i
przekształcasz otrzymane równanie w układ równań

[Klaudia_Joanna]

Witam ponownie, przepraszam, że odkopuję ten wątek, ale dziś robiłam ten przykład ponownie. Czy w przykładzie b) na pewno nie można przenieść 1 na drugą stronę ? To zmieniło by postać yj a co za tym idzie dalszą część rozumowania. Czy w równaniach różniczkowych można ogólnie przenosić ? Mój profesor na ostatnim egzaminie przewidział przypadek w swoim "kluczu" z przenoszeniem w dość podobnym równaniu, stąd moje pytanie bo w zasadzie wszystkiego uczę się sama... wiedziałam, że na uczelniach nie tłumaczą zbyt wiele, jednak u mnie poziom trudności nie jest współmierny do jakości kształcenia, dlatego będę wdzięczna jeżeli ktoś podzieli się posiadaną wiedzą. Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Premislav]

A mogłabyś napisać, w jaki sposób otrzymujesz równanie jednorodne po przerzuceniu jedynki na lewo? (tzn. mozna tak samo jak "normalnie", ale wtedy po co przerzucać...). Bo tak się składa, że \(\displaystyle{ y''-2y'-1=0}\) nie jest równaniem jednorodnym. Ale może nie o to Ci chodzi?
Natomiast można zrobić tak (choć nie wiem, czy coś to upraszcza i w sumie wygląda to na niepotrzebne kombinowanie):
równanie \(\displaystyle{ y''-2y'=2x+1}\) przekształcamy do \(\displaystyle{ y''-1-2(y'-x)=4x}\), następnie zauważamy, że \(\displaystyle{ y''-1=\left(y- \frac{x^{2}}{2}\right)''}\) oraz \(\displaystyle{ y'-x= \left(y- \frac{x^{2}}{2}\right)'}\)
Podstawiamy więc \(\displaystyle{ t(x)=y- \frac{x^{2}}{2}}\) i dostajemy prostsze równanie
\(\displaystyle{ t''-2t'=4x}\). Z punktu widzenia kogoś, kto przymierza się do zastosowania metody uzmienniania stałej nie robi to większej różnicy, więc niby strata czasu, ale widzę profit, jeśli ktoś chce użyć metody przewidywań i nie ma takiego doświadczenia/wiedzy/intuicji, żeby przewidzieć w wyjściowej postaci (np. ja nie mam) lub nie chce mu się przeprowadzać rachunków (przewidujemy rozw. szczególne w postaci trójmianu od \(\displaystyle{ x}\), a potem błąd w obliczeniach, tak jak lubię)- po tym podstawieniu łatwo widać, że można wziąć \(\displaystyle{ t_{1}(x)=-x^{2}-x}\), tj. wracając z podstawieniem... (no i potem trza wiedzieć, co zrobić z tym rozwiązaniem szczególnym).

A może Ty chcesz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y''-2y'-1=0}\) - równanie o stałych współczynnikach (przewidujemy \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\) etc.), a następnie użyć metody uzmienniania stałej, by wydobyć rozwiązanie równania \(\displaystyle{ y''-2y'-1=2x}\)? O to chodziło?