2 równania różniczkowe

[Klaudia_Joanna]

Cześć,
mam problem z obliczeniem następujących równań różniczkowych. Dochodzę do etapu wyznaczania y przewidywanego i pojawia się problem. Dotąd jak rozwiązywałam równania nie miałam sumy i teraz nie wiem jak to zrobić.

a) \(\displaystyle{ y''-4y'+3y= e ^{2x}+x}\)
b) \(\displaystyle{ y''-2y'=2x+1}\)

Z góry dziękuję za każdą pomoc

[mortan517]

Skoro jest suma funkcji to przewidujemy osobno dla jednego i osobno dla drugiego.

[Klaudia_Joanna]

I co później? 2 odpowiedzi? A można przewidywać dla 1?

[mortan517]

Nie, nie o to mi chodziło. Dochodzisz do momentu przewidywania i przewidujesz jakąś funkcję dla eksponenty, jakąś dla wielomianu i sumujesz je.

[Klaudia_Joanna]

Nie rozumiem można wytłumaczyć na tym przykładzie ? Z góry dziękuję

[mortan517]

Jakie jest równanie charakterystyczne, jakie są jego pierwiastki, jaka jest całka ogólna równania jednorodnego?

Zaraz dojdziemy do metody przewidywań.

[Klaudia_Joanna]

a) pierwiastki to: 3,1
\(\displaystyle{ y _{j}= C _{1}e ^{3x}+C _{2}e ^{x}}\)
b) pierwiastki to: 0,2
\(\displaystyle{ y _{j}= C _{1}e ^{2x}+C _{2}}\)

dobrze?

[mortan517]

Dobrze, dalej przewidujemy lewą stronę. Co przewidujemy dla pierwszego członu?

[Klaudia_Joanna]

Czyli tak jakby to rozdzielić, to by było:

a) \(\displaystyle{ Ae ^{2x}}\)
b) \(\displaystyle{ Ax+B}\)

?

[mortan517]

Tylko te stałe musisz inaczej nazywać.

[Klaudia_Joanna]

mortan517, chyba się zgubiłam w tym już, potem trzeba oddzielnie przewidywać dla tego x z pierwszego przykładu oraz 1 z drugiego ?

[mortan517]

Dobra po kolei, bo zaczęłaś dwa przykłady i się pogubisz.

Lecimy pierwszy przykład \(\displaystyle{ y''-4y'+3y= e ^{2x}+x}\)

\(\displaystyle{ y _{j}= C _{1}e ^{3x}+C _{2}e ^{x}}\)

Mamy całkę ogólną równania jednorodnego i teraz przewidujemy

dla części \(\displaystyle{ e^{2x}}\) przewidujemy \(\displaystyle{ Ae^{2x}}\), a dla wielomianu \(\displaystyle{ x}\) przewidujemy \(\displaystyle{ Bx+C}\)

Czyli mamy sumę tych funkcji, więc przewidujemy \(\displaystyle{ y_s=Ae^{2x} + Bx+C}\)

I teraz liczymy kolejne pochodne i wstawiamy do naszego równania.

[Klaudia_Joanna]

mortan517, nie wpadłabym na to w życiu. Czyli drugi przykład wyglądałby tak:

dla \(\displaystyle{ 2x}\) przewidujemy \(\displaystyle{ Ax+B}\)
a dla \(\displaystyle{ 1}\) przewidujemy \(\displaystyle{ C}\)
i razem mamy \(\displaystyle{ Ax+B+C}\)

czy to C jest tu zbędne ?

[mortan517]

Bo na to nie trzeba wpaść, trzeba zobaczyć jak to się robi. Przykład jakiś z zajęć powinnaś przejrzeć, pouczyć się najpierw.

Poczekaj, nie ruszaj drugiego przykładu, dokończ pierwszy bo się całkiem pogubimy.

[Klaudia_Joanna]

mortan517, właśnie chodzi o to, że na zajęciach nie było w ogóle żadnych sum tylko jakieś wyrażenie jedno jako r(x). Na ćwiczeniach robimy może z 1/4 tego co na egzaminie jest. Już kończę pierwszy przykład.