czy liczba jest wymierna
: 23 mar 2015, o 22:38
autor: Michalinho
Tutaj rozwiązanie bez żadnych lematów:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ a=\frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a}\) jest wymierna. Wtedy \(\displaystyle{ a^2}\) też jest wymierna.
\(\displaystyle{ a^2=\frac{1}{ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+2+ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\)
\(\displaystyle{ a^2-2}\) też jest wymierna, a więc \(\displaystyle{ \left(a^2-2 \right)^2}\) także.
\(\displaystyle{ \left(a^2-2 \right)^2=\left(\frac{1}{ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }\right)^2=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }+2+ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}} =\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{ (2 \sqrt{2}- \sqrt{7} )(2\sqrt{2}+\sqrt{7}) }=2\sqrt{2}+\sqrt{7}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (a^2-2)^2=2\sqrt{2}+\sqrt{7}+2+2\sqrt{2}-\sqrt{7}=4\sqrt{2}+2}\), a więc jest liczbą niewymierną co daje sprzeczność z założeniem. A więc liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a}\) jest wymierna. Wtedy \(\displaystyle{ a^2}\) też jest wymierna.
\(\displaystyle{ a^2=\frac{1}{ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+2+ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\)
\(\displaystyle{ a^2-2}\) też jest wymierna, a więc \(\displaystyle{ \left(a^2-2 \right)^2}\) także.
\(\displaystyle{ \left(a^2-2 \right)^2=\left(\frac{1}{ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }\right)^2=\frac{1}{ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }+2+ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}} =\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}{ (2 \sqrt{2}- \sqrt{7} )(2\sqrt{2}+\sqrt{7}) }=2\sqrt{2}+\sqrt{7}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (a^2-2)^2=2\sqrt{2}+\sqrt{7}+2+2\sqrt{2}-\sqrt{7}=4\sqrt{2}+2}\), a więc jest liczbą niewymierną co daje sprzeczność z założeniem. A więc liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna.