Zbadać zbieżność szeregu

[Marcinek665]

Post powyżej nie wnosi kompletnie niczego do dyskusji. Poza podejrzeniem, że jego autor nie zna definicji granicy lub chciał bez przemyślenia nabić posta. No offence, ale większość Twoich postów tak wygląda, zero konkretów.

Dlaczego to dowód faktu, że \(\displaystyle{ n^2 \le 2^{\sqrt{n}}}\):

Skoro granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), to (te rzeczy są dodatnie, więc moduł pomijam) dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) (weźmy sobie od razu \(\displaystyle{ \varepsilon = 1}\)) istnieje takie miejsce, że począwszy od niego dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2^{\sqrt{x}}} < 1}\). Stąd \(\displaystyle{ x^2 < 2^{\sqrt{x}}}\) od pewnego miejsca. W szczególności od tego samego miejsca dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) ta nierówność zachodzi, więc mamy upragnione \(\displaystyle{ n^2 \le 2^{\sqrt{n}}}\).

[miodzio1988]

Doskonale znam definicje granicy. Przedstaw taki dowód dla zbieżności naszego szeregu na kolosie a dostaniesz zero punktów z miejsca.

Spoko, pomińmy \(\displaystyle{ 400}\) wyrazów i napiszmy, że jest to prawda. Oczywiście dla zbieżności szeregu nie robi to różnicy, ale też nikt(przed Tobą) o tym nie wspomniał. Nie możemy też różniczkować ciągów (reguła H), ale oczywiście też nikt (Ty też nie) o tym nie wspomniał. Lepiej prywatnie mnie atakować niż zwrócić uwagę na oczywiste luki w tych rozważaniach, które tylko przynoszą szkodę osobom które się uczą z tego tematu

Ale lepiej mną się zajmować niż tymi osobami, co?

[Marcinek665]

Gdzie zastosowano regułę H dla ciągu? Widzę tylko dla funkcji.

Co więcej: skoro sugerujesz, że mój dowód jest wart zero punktów, to (skoro mój zarzut o brak rzeczowości jest prymitywny) wskaż mi, proszę, miejsce, w którym popełniłem błąd. Ja uważam, że go nie ma i dyskusja według mnie nie potoczy się dalej, jeśli nie wskażesz mi błędu lub sam się do niego nie przyznasz.

[miodzio1988]

No, a ja widzę, że badamy zbieżność szeregu, dowodzimy nierówności dla liczb naturalnych, jesteśmy w dziale Własności i granice ciągów, a później( bez komentarza) sobie różniczkujemy. No rzeczywiście sensownie, super poprawnie, tak róbmy dalej. Brawo

[Marcinek665]

Ok. Podsumowując: rzuciłeś bez zastanowienie oskarżenie, że moja argumentacja jest błędna, ale nagle uświadamiasz sobie, że strzeliłeś bez zastanowienia (co na początku sugerowałem) i odwracasz kota ogonem, że korzystam z innych metod niż byś oczekiwał

Przyznaję - zrobiłem to na siłę, bo nie lubię, gdy ktoś wrzuca do kosza dowód, który jest poprawny, o ile dodać do niego dwa zdania.

[miodzio1988]

Jak pijemy to nie wchodzimy na forum

Przyznaję - zrobiłem to na siłę, bo nie lubię, gdy ktoś wrzuca do kosza dowód, który jest poprawny, o ile dodać do niego dwa zdania.

No i brak tych dwóch zdań skreśla dowód. Prosta sprawa. No pewnie możemy napisać:

Korzystamy z kryterium porównawczego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} \le \frac{1}{n^2}}\)

więc szereg jest zbieżny

Ale w tym momencie, na każdych porządnych studiach, dostaniesz zapisek, że nierówność jest nieprawdziwa dla \(\displaystyle{ n=3}\) i dziekujemy po Twoim dowodzie. A Ty będziesz krzyczał jaki to wykładowca jest zły i "nabija sobie studentów na poprawke", tak jak do mnie się rzuciłeś

A teksty o odwracaniu kota ogonem to jest zagrywka z gimnazjum, gdy się nagle traci argumenty

[wiedzmac]

Przepraszam bardzo, ale kogo ty cytujesz? Bo na pewno nie mnie...

Dobrze, jeżeli ci tak zależy to pokażę, że potrafię też udowodnić nierówność indukcyjnie.

\(\displaystyle{ n^2 \leq 2^{\sqrt{n}}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem to dostajemy do udowodnienia prostą nierówność \(\displaystyle{ k^4 \leq 2^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k^2 = n}\). Jeśli \(\displaystyle{ n}\) nie jest kwadratem, to możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ k = \left[ \sqrt{n}\right]}\), bo \(\displaystyle{ 2^{ \left[ \sqrt{n} \right]^2 } \leq 2^n}\).

Zatem do udowodnienia mamy \(\displaystyle{ k^4 \leq 2^k}\). Podstawę indukcji dla \(\displaystyle{ k = 20}\) sprawdziliśmy wcześniej. Weźmy dowolne \(\displaystyle{ k}\) i załóżmy, że nierówność dla tego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi. Pokażmy, że jest ona również prawdziwa dla \(\displaystyle{ k+1}\). Dostajemy \(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2^k \cdot 2 \geq 2 \cdot k^4 \geq (k+1)^4}\) z czego poprawność ostatniej nierówności można sprawdzić na szkolne sposoby, czego już nie będę pisał.

[Marcinek665]

Ale w tym momencie, na każdych porządnych studiach, dostaniesz zapisek, że nierówność jest nieprawdziwa dla \(\displaystyle{ n=3}\) i dziekujemy po Twoim dowodzie. A Ty będziesz krzyczał jaki to wykładowca jest zły i "nabija sobie studentów na poprawke", tak jak do mnie się rzuciłeś

A teksty o odwracaniu kota ogonem to jest zagrywka z gimnazjum, gdy się nagle traci argumenty

Jasno zaznaczyłem w moich "dwóch zdaniach": od pewnego miejsca. Dlatego właśnie Twierdzę, że odwracasz kota ogonem, bo nie czytając dokładnie moich wypocin, zakładasz z góry, że popełniam błąd, który może i popełniłoby 99% studentów, ale którego tutaj nie ma.

[miodzio1988]

Pokazałem przykład. O prostą sprawę chodzi, którą wyjaśnię na przykładzie (też dam w tagach cytuj)

Zbadaj warunek konieczny zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{e ^{n} }}\)

Rozwiązanie uznawane przez Marcinka za poprawne:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x }{e ^{x} }=H= \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{e ^{x} }=0}\)

A mi takie "pomijanie oczywistych" faktów się nie podoba, zwracam na to uwagę, bo może się zdarzyć, że ktoś uwali kolosa przez to, bo czytał Marcinka. I były takie sytuacje, miałem takich uczniów, więc zwracam uwagę na takie rzeczy właśnie dla tych ludzi. A żeby nie było, że nabijam posty, no mam najwięcej na forum ale muszę nabijać , to Yorgin niech mi odejmie 100 od licznika, żeby Marcinek poczuł się lepiej. Ostatnie Twoje zdanie i kończymy rozmowę, późno jest.

Jasno zaznaczyłem w moich "dwóch zdaniach": od pewnego miejsca. Dlatego właśnie Twierdzę, że odwracasz kota ogonem, bo nie czytając dokładnie moich wypocin, zakładasz z góry, że popełniam błąd, który może i popełniłoby 99% studentów, ale którego tutaj nie ma.

To była moją odpowiedź do mojego cytatu, czytaj cały post...

[Marcinek665]

Patrzmy nieco szerzej na tę rozmowę. Zaczęło się od propozycji zastosowania kryterium porównawczego, dowodzimy zatem, że:

1. \(\displaystyle{ n^2 \le 2^{\sqrt{n}}}\) od pewnego miejsca. Jak tego dowodzimy?

2. Zaczynamy od obliczenia sobie, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2^{\sqrt{x}}} = 0}\)

3. Stąd wynika, że od pewnego miejsca \(\displaystyle{ x^2 \le 2^{\sqrt{x}}}\) (na mocy tego, co napisałem).

Mój post miał na celu pokazanie, że implikacja \(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (3)}\) jest prawdziwa (wbrew temu co pisałeś). Nigdzie nie sugeruję i nie sugerowałem, że implikacja ta załatwia całe zadania. Twierdzę jednak, że zdania 1, 2 i 3 implikują zbieżność szeregu i są rozwiązaniem na komplet punktów.

[miodzio1988]

Zbadaj warunek konieczny zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{e ^{n} }}\)

Rozwiązanie uznawane przez Marcinka za poprawne:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x }{e ^{x} }=H= \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{e ^{x} }=0}\)

No to mamy idealnie to:

2) No to policzmy \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x }{e ^{x} }}\)

3)Wychodzi zero, więc mamy warunek konieczny.

No rzeczywiście świetnie udowodnione

Prześpij się może z problemem to zrozumiesz o co chodzi. Wrócimy do tego jutro, dobranoc

[Marcinek665]

Kompletnie nie rozumiesz mojego dowodu.

[miodzio1988]

(wbrew temu co pisałeś)

Bzdura. Więc jeszcze raz zacytuję sam siebie:

Korzystamy z kryterium porównawczego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} \le \frac{1}{n^2}}\)

więc szereg jest zbieżny

Ale w tym momencie, na każdych porządnych studiach, dostaniesz zapisek, że nierówność jest nieprawdziwa dla \(\displaystyle{ n=3}\) i dziekujemy po Twoim dowodzie. A Ty będziesz krzyczał jaki to wykładowca jest zły i "nabija sobie studentów na poprawke", tak jak do mnie się rzuciłeś

Już widzisz do czego się odnosiłem, coś jeszcze?

Ja się nawet nie odniosłem do Twojego dowodu tylko do całego rozumowania.

Patrz nieco szerzej na tę rozmowę.

[Marcinek665]

Po raz trzeci nie przeczytałeś ze zrozumieniem mojej wypowiedzi i używasz argumentów, na które odpowiedziałem wcześniej. Nie oczekuję, że za czwartym razem będzie inaczej, więc ja ze swojej strony podziękuję za dyskusję.

[miodzio1988]

Kompletnie nie rozumiesz mojego dowodu.

No jak masz takie założenia to się nie dziwię, że dyskusja Ci nie idzie

Przykład podałem dlaczego się "przyczepiłem" polecam analizę tego przykładu i rozwiązania wiedzmaca no i życzę wszystkim miłej nocy.