zbieżność i zbieżność jednostajna szeregów/ciągów

[max]

Tak, gdyż szereg powstały w wyniku wymnożenia szeregu zbieżnego przez stałą jest również szeregiem zbieżnym (co wynika z definicji szeregu).

[thane]

zadanie 1 i 2 już rozumiem ale pojawiły się następne problemy:

3.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{3^{n + 1}\cdot x^{n + 1}}{(n + 1)^{2} + 1}\cdot \frac{n^{2} + 1}{3^{n}\cdot x^{n}} = 3x}\)
Promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ R = \tfrac{1}{3}}\)
dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{3}}\) szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}}\)
Zatem przedział zbieżności szeregu to: \(\displaystyle{ [-\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}]}\)

b) analogicznie jak powyżej: \(\displaystyle{ R = \tfrac{1}{2}}\)
tym razem jednak dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{2}}\) szereg jest rozbieżny, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2n}}\)
natomiast dla \(\displaystyle{ x= -\tfrac{1}{2}}\) szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, a wyraz ogólny dąży do zera. Ponieważ szereg naprzemienny jest zbieżny, to przedział zbieżności jest równy: \(\displaystyle{ [-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})}\)

dlaczego w przykładzie a) jest porównanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}}\) a w b) z goła inne \(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2n}}\) ?

\(\displaystyle{ x= -\tfrac{1}{2}}\) szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, a wyraz ogólny dąży do zera.

skąd to wiadomo?

a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x) = 0}\)

Czy mógłbym prosić o rozpisanie?

Natomiast dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), jeśli obierzemy \(\displaystyle{ \varepsilon = \tfrac{1}{3}}\), to dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{n}}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| < \varepsilon}\)
nie zachodzi, zatem ciąg nie jest zbieżny jednostajnie.

z jakiego to wzoru bo nigdzie nie mogę znaleźć?

[max]

dlaczego w przykładzie a) jest porównanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}}\) a w b) z goła inne \(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2n}}\) ?

W pierwszym przypadku, stosując kryterium porównawcze, pokazujemy, że szereg jest zbieżny, tzn pokazujemy, że każdy jego wyraz jest mniejszy od odpowiedniego wyrazu innego szerego zbieżnego. Zaś w podpunkcie b) korzystając z tego samego kryterium pokazujemy, że szereg jest rozbieżny, czyli pokazujemy, że każdy z jego wyrazów jest większy od odpowiadającego mu wyrazu pewnego szeregu rozbieżnego.

\(\displaystyle{ x= -\tfrac{1}{2}}\) szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, a wyraz ogólny dąży do zera.

skąd to wiadomo?

Podstawiając \(\displaystyle{ x = -\tfrac{1}{2}}\) otrzymujemy wyraz ogólny:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n + 1}}\)

1) Wyrazy szeregu są na przemian dodatnie i ujemne, bo na przemian dodatni i ujemny jest czynnik \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\), przez który mnożymy stale dodatnią wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1}}\)

2) Wartość bezwzględna n-tego wyrazu jest równa właśnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1}}\), aby pokazać, że wartości tej postaci monotonicznie maleją, wystarczy zbadać iloraz między dwoma kolejnymi:
\(\displaystyle{ \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{n + 1}{n + 2} < 1}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty }\frac{1}{n + 1} \stackrel{\left[\frac{1}{+\infty}\right]}{=} 0}\)

a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x) = 0}\)

Czy mógłbym prosić o rozpisanie?

Nieszczególnie jest co rozpisywać:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \frac{1}{nx + 2} \stackrel{\left[\frac{1}{+\infty}\right]}{=} 0}\)
chyba, że chcesz z definicji, ale nie widzę takiej potrzeby...

Natomiast dla dowolnego \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\), jeśli obierzemy \(\displaystyle{ \varepsilon = \tfrac{1}{3}}\), to dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{n}}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| < \varepsilon}\)
nie zachodzi, zatem ciąg nie jest zbieżny jednostajnie.

z jakiego to wzoru bo nigdzie nie mogę znaleźć?

Z definicji zbieżności jednostajnej:
Mówimy, że ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{n}(x))}\) określonych na przedziale \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny jednostajnie, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli tylko \(\displaystyle{ n > N}\), to zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x) = \lim_{n\to\infty}f_{n}(x)}\).

[thane]

dzięki wielkie za pomoc
ale jeszcze mam z tymi problem:
1.Zbadać zbieżność jednostajną i zbieżność punktową ciągu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ f_n(x)=x^n(1-x) \ \ x\in[0,1]}\)
2. Podaj przedział zbieżności szeregu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n}\)
3.Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\tan\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\cos\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

[max]

1. Najpierw badamy zbieżność punktową:
Oczywiście \(\displaystyle{ f_{n}(1) = 1^{n}\cdot 0 = 0}\)
czyli: \(\displaystyle{ f(1) = 0}\)
Ponadto dla \(\displaystyle{ x\in [0, 1)}\):
\(\displaystyle{ 0 \leqslant f_{n}(x) = x^{n}(1 - x) }\)
i ostatecznie w zadanym przedziale nasz ciąg jest zbieżny punktowo do \(\displaystyle{ f(x) \equiv 0}\)

Co do zbieżności jednostajnej - rozważmy przy dowolnym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x) - f(x)| = f_{n}(x) = x^{n}(1 - x) }\)
Zauważmy, że zachodzi ona dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \{0,1\}}\), bo \(\displaystyle{ f_{n}(0) = f_{n}(1) \equiv 0}\)
Zajmijmy się przypadkiem, gdy \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ (f_{n}(x))' = (x^{n}(1 - x))' = nx^{n - 1}(1 - x) - x^{n} =\\
= x^{n - 1}(n(1 - x) - x) = x^{n - 1}(n - x(n + 1))}\)
i pochodna zeruje się w punkcie \(\displaystyle{ x = \frac{n}{n + 1}}\), przy czym na lewo od tego punktu jest dodatnia a na prawo ujemna. Zatem w punkcie tym funkcja \(\displaystyle{ f_{n}(x)}\) ma maksimum równe:
\(\displaystyle{ f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right) = \left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}\cdot \left(1 - \frac{n}{n + 1}\right) = \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n + 1}}}\)
Czyli dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, przy dowolnym \(\displaystyle{ x\in [0, 1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ f_{n}(x) \leqslant f_{n}\left(\frac{n}{n + 1}\right)}\)
Poza tym:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{(n + 1)^{n + 1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 1}\cdot\frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} = 0}\)
Z tego, że ciąg \(\displaystyle{ \left(f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}}\) zbiega do zera możemy wnioskować, że nasz ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie. Rzeczywiście, przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) wystarczy wziąć takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że dla \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) jest spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ \left|f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)\right| = f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right) }\)
(istnienie takiego \(\displaystyle{ n_{0}}\) jest zagwarantowane właśnie przez to, że granicą wyrażenia po lewej stronie nierówności jest 0 (a dokładniej wynika to z definicji granicy ciągu)).
A ponieważ, jak pokazaliśmy, jest:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| = f_{n}(x) \leqslant f_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)}\)
to jest też:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| }\)
więc nasz ciąg jest zbieżny jednostajnie.
(wartości bezwzględne w tym przypadku sobie opuszczaliśmy, bo badany ciąg jest ciągiem o wyrazach nieujemnych).

W ogólności, korzystając z analogicznego rozumowania, można udowodnić następujące twierdzenie:
Ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{n}(x))_{n\in\mathbb{N}}}\) określonych w przedziale \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny jednostajnie wtw gdy ciąg:
\(\displaystyle{ s_{n} = \sup\{|f_{n}(x)-f(x)|\ : \ x\in X \}}\) jest zbieżny do zera.

2. Skorzystajmy z kryt d'Alemberta. Mamy:
\(\displaystyle{ \mathcal{D}_{n} = \frac{(n + 1)!\cdot x^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}}\cdot \frac{n^{n}}{n!\cdot x^{n}} = \frac{x}{\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}} = \frac{x}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} \to \frac{x}{e}}\)
Zatem \(\displaystyle{ R = e}\)
teraz badamy zbieżność dla \(\displaystyle{ x = \pm e}\). Zauważmy, że wtedy:
\(\displaystyle{ |\mathcal{D}_{n}| = \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{e}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} > 1}\)
bo mianownik w wyrażeniu po lewej stronie nierówności zbiega do \(\displaystyle{ e}\) rosnąc. Wobec tej nierówności ciąg wartości bezwzględnych kolejnych wyrazów szeregu jest rosnący, więc nie może być zbieżny do zera, a zatem nie może zachodzić warunek konieczny zbieżności. W związku z tym przedział zbieżności jest otwarty: \(\displaystyle{ (-e, e)}\)

3. Korzystamy z kryterium ilorazowego porównując szereg z szeregiem rozbieżnym o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{n^{\frac{7}{12}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n}\cdot \sqrt[4]{n}}}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\cdot \tan \frac{1}{\sqrt[4]{n}}\cdot \cos\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{n}\cdot \sqrt[4]{n}}} =\\
= \lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}\cdot \frac{\tan \frac{1}{\sqrt[4]{n}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{n}}}\cdot \cos\frac{1}{\sqrt{n}} = 1\cdot 1\cdot \cos 0 = 1}\)
Ponieważ granica jest skończona i większa od 0 to szereg zachowuje się (w sensie zbieżności) tak samo jak szereg, z którym go porównujemy - czyli jest rozbieżny.

[reizal]

moze mi ktos wytlumaczyc KONIECZNIE lopatologicznie skad w zadaniu 4 a) wzielo sie e = 1/3 oraz x = 1/n ?