zbieżność i zbieżność jednostajna szeregów/ciągów

[thane]

1.Zbadaj zbieżność szeregów:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}}\)
2.Zbadaj zbieżność szeregów w przypadku zbieżności podać typ:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^nn}{2n+2}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n(1+\frac{1}{n})^n}\)
3.Zbadać zbieżność szeregu funkcyjnego:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^nx^n}{n^2+1}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^nx^n}{n+1}}\)
4.Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego:
a) \(\displaystyle{ f_{n}(x)=\frac{1}{nx+2}, x\in[0;1]}\)
b) \(\displaystyle{ f_{n}(x)=\frac{1}{1+nx^2}, x\in[0;1]}\)

z góry dziękuję za wszelką pomoc

[max]

1.
a)
\(\displaystyle{ \frac{2n + 1}{n^{2}(n + 1)^{2}} < \frac{2(n + 1)}{n^{2}(n + 1)^{2}} = \frac{2}{n^{2}(n + 1)} < \frac{2}{n^{3}}}\)
szereg jest zbieżny

b)
\(\displaystyle{ \frac{n}{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}} < \frac{2n + 1}{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}} = \frac{1}{(2n - 1)^{2}(2n+1)} < \frac{1}{n^{3}}}\)
szereg jest zbieżny

2.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \left|\frac{(-1)^{n}n}{2n + 2}\right| = \frac{1}{2}\neq 0}\)
szereg jest rozbieżny

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } |(-1)^{n}(1 + \tfrac{1}{n})^{n}| = e}\)
szereg jest rozbieżny

3.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \frac{3^{n + 1}\cdot x^{n + 1}}{(n + 1)^{2} + 1}\cdot \frac{n^{2} + 1}{3^{n}\cdot x^{n}} = 3x}\)
Promień zbieżności wynosi \(\displaystyle{ R = \tfrac{1}{3}}\)
dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{3}}\) szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2}}}\)
Zatem przedział zbieżności szeregu to: \(\displaystyle{ [-\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}]}\)

b) analogicznie jak powyżej: \(\displaystyle{ R = \tfrac{1}{2}}\)
tym razem jednak dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{2}}\) szereg jest rozbieżny, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} > \frac{1}{2n}}\)
natomiast dla \(\displaystyle{ x= -\tfrac{1}{2}}\) szereg jest szeregiem naprzemiennym, bo jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, a wyraz ogólny dąży do zera. Ponieważ szereg naprzemienny jest zbieżny, to przedział zbieżności jest równy: \(\displaystyle{ [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})}\)

4.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x) = 0}\)
Natomiast dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), jeśli obierzemy \(\displaystyle{ \varepsilon = \tfrac{1}{3}}\), to dla \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{n}}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| < \varepsilon}\)
nie zachodzi, zatem ciąg nie jest zbieżny jednostajnie.

b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x) = 0}\)
analogicznie, dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), jeśli \(\displaystyle{ \varepsilon = \tfrac{1}{2}}\), to przy \(\displaystyle{ x = \tfrac{1}{\sqrt{n}}}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |f_{n}(x)| < \varepsilon}\)
nie zachodzi - ciąg nie jest zbieżny jednostajnie.

[thane]

1.
a)
\(\displaystyle{ \frac{2n + 1}{n^{2}(n + 1)^{2}} < \frac{2(n + 1)}{n^{2}(n + 1)^{2}} = \frac{2}{n^{2}(n + 1)} < \frac{2}{n^{3}}}\)
szereg jest zbieżny

b)
\(\displaystyle{ \frac{n}{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}} < \frac{2n + 1}{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}} = \frac{1}{(2n - 1)^{2}(2n+1)} < \frac{1}{n^{3}}}\)
szereg jest zbieżny

na podstawie czego można stwierdzić że te szeregi są zbieżne? bo nie bardzo mogę zrozumieć to rozumowanie... czy to wynika z tego że szereg jest zbieżny gdy: \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0}\)

[max]

Nie, to wynika z kryterium porównawczego, gdyż każdy szereg postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s > 1}\), jest szeregiem zbieżnym.

Warunek:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } a_{n} = 0}\) jest warunkiem koniecznym zbieżności, a nie warunkiem wystarczającym (czyli ten warunek spełnia każdy szereg zbieżny, ale nie każdy szereg spełniający ten warunek jest zbieżny).

[thane]

no dobrze tylko skąd w rozumowaniu się wzięły te nierówności? dlaczego one akurat są takie?

[max]

No cóż, one zachodzą w sposób dość oczywisty, np w pierwszej najpierw dodaliśmy jeden do licznika uzyskując tym samym wartość większą, a po skróceniu zmniejszyliśmy mianownik zastępując czynnik \(\displaystyle{ n + 1}\) czynnikiem o jeden mnieszym... to wszystko po to aby otrzymać na końcu szereg zbieżny... zamiast tego można było zastosować kryterium ilorazowe badając granicę ilorazu wyrazu ogólnego tego szeregu z \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{3}}}\)

[thane]

zamiast tego można było zastosować kryterium ilorazowe badając granicę ilorazu wyrazu ogólnego tego szeregu z \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{3}}}\)

mógłbym prosić o pokazanie jak?
i jeszcze pytanie do 2 zadania: jak granica wychodzi 1/2? mi z twierdzenia o 3 ciągach nie chce wyjść ani podpunkt a ani b...

[max]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n + 1}{n^{2}\cdot (n + 1)^{2}}}{\frac{1}{n^{3}}} = \lim_{n\to }\frac{n^{3}(2n + 1)}{n^{2}(n + 1)^{2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2 + \frac{1}{n})}{(1 + \frac{1}{n})^{2}} = 2}\)
granica jest skończona i różna od \(\displaystyle{ 0}\) zatem zbieżność obu szeregów taka sama.

Co do drugiego pytania:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left|\frac{(-1)^{n}n}{2n + 2}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n + 2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{2}}\)

[thane]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2n + 1}{n^{2}\cdot (n + 1)^{2}}}{\frac{1}{n^{3}}} = \lim_{n\to }\frac{n^{3}(2n + 1)}{n^{2}(n + 1)^{2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2 + \frac{1}{n})}{(1 + \frac{1}{n})^{2}} = 2}\)
granica jest skończona zatem zbieżność obu szeregów taka sama.

a czemu akurat dobrałeś tą liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{n^3}}\)?

Co do drugiego pytania:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left|\frac{(-1)^{n}n}{2n + 2}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n + 2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{2}}\)

dlaczego można opuścić to \(\displaystyle{ (-1)^n}\)?

[max]

ad pytanie 1. : Najwyższa potęga z \(\displaystyle{ n}\) w mianowniku (po wymnożeniu) miałaby wykładnik o 3 większy od najwyższej potęgi \(\displaystyle{ n}\) w liczniku, stąd widać, że wyjdzie nam z dzielenia przez \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{3}}}\) granica
\(\displaystyle{ 0 < g }\)

[thane]

ad pytanie 2. : Badamy granicę z wartości bezwzględnej wyrazu ogólnego. Jeśli byłby spełniony warunek konieczny zbieżności, to byłoby też \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_{n}| = 0}\).

czy to jest jakieś konkretne twierdzenie (czy ma jakąś swoją nazwę)? czy tak jest po prostu?

[max]

To prosty wniosek z definicji granicy ciągu... zauważ, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 0}\) oznacza, iż dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ N}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > N}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |a_{n}| < \varepsilon}\)
a ponieważ wartość bezwzględna z \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) wynosi dokładnie tyle samo, to z definicji granicy mamy również:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} |a_{n}| = 0}\)
Ogólniej, korzystając z definicji granicy ciągu, można udowodnić twierdzenie mówiące iż jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to }a_{n} = a}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} |a_{n}| = |a|}\)
(implikacja w drugą stronę nie zachodzi).

[thane]

Kryterium porównawcze: jeżeli wyrazy szeregu \(\displaystyle{ \Sigma a_n}\) spełniają od pewnego \(\displaystyle{ N}\) nierówność \(\displaystyle{ |a_n| \leqslant b_n}\)i szereg \(\displaystyle{ \Sigma b_n}\) jest zbieżny to również szereg \(\displaystyle{ \Sigma a_n}\) jest zbieżny

czyli skąd wiadomo że te szeregi:

a)
\(\displaystyle{ \frac{2(n + 1)}{n^{2}(n + 1)^{2}}}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac{2n + 1}{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}}}\)

są zbieżne?

[max]

Stąd, że ich wyrazy są dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) mniejsze od odpowiadających im wyrazów szeregów zbieżnych, w pierwszym wypadku szeregu \(\displaystyle{ \frac{2}{n^{3}}}\) a w drugim \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{3}}}\).

[thane]

Nie, to wynika z kryterium porównawczego, gdyż każdy szereg postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s > 1}\), jest szeregiem zbieżnym.

ale czy z tego wynika że szereg \(\displaystyle{ \frac{2}{n^{3}}}\) jest zbieżny?