Oblicz pole obszaru D
-
Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Oblicz pole obszaru D
Narysowałem i przeczytałem polecenie nawet całek niestety trzeba użyć. Jak ktoś chce oczywiście może odejmować od pola koła pola odcinków kołowych.
Oblicz pole obszaru D
A więc, jeszcze raz:
\(\displaystyle{ x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \\ J=r \\ 0 \le \alpha \le 2 \pi \\ 0 \le r \le \sqrt{2}}\)
przyjęłam takie ograniczenia przy zamianie zmiennych, ale wydaje mi się, że tym sposobem policzyłam pole całego koła, a według polecenia chodziło jedynie o część leżącą w I ćwiartce. Czy faktycznie muszę się bawić w odejmowanie tych kawałków pola, które nie są zawarte w I ćwiartce, czy istnieje sposób, żeby policzyć to jakoś inaczej?
P.S. Mam także pytanie dotyczące liczenia objętości całką potrójną. Zadanie dotyczy objętości ostrosłupa ściętego o wierzchołkach (1,0,0) (2,0,0) (1,1,0) (2,2,0) (1,1,1) (2,2,2)... Czy ktoś mógłby mnie oświecić, jak zmienia się z? I czy polecenie jest w ogóle właściwie - według definicji stożek ścięty ma dwie podstawy równoległe, ale widać, że w tym wypadku tak nie jest...
\(\displaystyle{ x=rcos \alpha \\ y=rsin \alpha \\ J=r \\ 0 \le \alpha \le 2 \pi \\ 0 \le r \le \sqrt{2}}\)
przyjęłam takie ograniczenia przy zamianie zmiennych, ale wydaje mi się, że tym sposobem policzyłam pole całego koła, a według polecenia chodziło jedynie o część leżącą w I ćwiartce. Czy faktycznie muszę się bawić w odejmowanie tych kawałków pola, które nie są zawarte w I ćwiartce, czy istnieje sposób, żeby policzyć to jakoś inaczej?
P.S. Mam także pytanie dotyczące liczenia objętości całką potrójną. Zadanie dotyczy objętości ostrosłupa ściętego o wierzchołkach (1,0,0) (2,0,0) (1,1,0) (2,2,0) (1,1,1) (2,2,2)... Czy ktoś mógłby mnie oświecić, jak zmienia się z? I czy polecenie jest w ogóle właściwie - według definicji stożek ścięty ma dwie podstawy równoległe, ale widać, że w tym wypadku tak nie jest...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22461
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Oblicz pole obszaru D
Obszar, który opisałaś w ostatnim poscie to kolo o środku w początku układu i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a wiec zdecydowanie nie to o co chodzi. I nawet ograniczenie kąta do pierwszej ćwiartki (czyli \(\displaystyle{ 0\leq \alpha\leq \pi/2}\) nic nie pomoże.
Jeżeli umieścisz biegun w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\), czyli zastosujesz zamianę zmiennych \(\displaystyle{ x=1+r\cos\alpha,\ y=1+\sin\alpha}\) to najłatwiej obliczysz pole, jeżeli podzielisz je na dwa obszary: pierwszy to półkole ograniczone prostą \(\displaystyle{ y=-x+2}\) (wtedy \(\displaystyle{ -\pi/4\leq\alpha\leq 3\pi/4, \ 0\leq r\leq \sqrt{2}}\), a drugi to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(0,2),(2,0)}\)
Pole tego trójkąta łatwiej policzyć bez współrzędnych biegunowych (ale jeżeli się uprzesz, to musisz "odkryć" wzór na \(\displaystyle{ r=r(\alpha)}\) dla \(\displaystyle{ 3\pi/4\leq\alpha 7\pi/4}\))
Jeżeli umieścisz biegun w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\), czyli zastosujesz zamianę zmiennych \(\displaystyle{ x=1+r\cos\alpha,\ y=1+\sin\alpha}\) to najłatwiej obliczysz pole, jeżeli podzielisz je na dwa obszary: pierwszy to półkole ograniczone prostą \(\displaystyle{ y=-x+2}\) (wtedy \(\displaystyle{ -\pi/4\leq\alpha\leq 3\pi/4, \ 0\leq r\leq \sqrt{2}}\), a drugi to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(0,2),(2,0)}\)
Pole tego trójkąta łatwiej policzyć bez współrzędnych biegunowych (ale jeżeli się uprzesz, to musisz "odkryć" wzór na \(\displaystyle{ r=r(\alpha)}\) dla \(\displaystyle{ 3\pi/4\leq\alpha 7\pi/4}\))