Matematyka.pl

Na przykład przez podstawienie:

\(\displaystyle{ 1-x ^{2} =t}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} =1-t}\)

\(\displaystyle{ dx= \frac{dt}{-2x}}\)

Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{3} }{ \sqrt{t} } \cdot \frac{dt}{-2x}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ \sqrt{t} } dt}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{} \frac{1-t }{ \sqrt{t} } dt}\)

Jeszcze zostały mi 2 całeczki z którymi mam problem.. Siedziałem bardzo długo i próbowałem na różne sposoby... Może ktoś mi je rozwiązać?

1) \(\displaystyle{ \int_{}^{} x \sin^2x dx}\)

2) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2 \sin x}{\cos^3x} dx}\)

W pierwszej całce przez części. Całkując \(\displaystyle{ \sin^2 x}\) zniknie nam potem \(\displaystyle{ x}\), bo \(\displaystyle{ x'=1}\)
Gdybyś miał problem ze scałkowaniem \(\displaystyle{ \sin^2 x}\) wykorzystaj jedynkę trygonometryczną i tożsamość \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x}\)

W drugiej dwukrotnie przez części. Najpierw całkuj \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos ^{3} x}}\) (podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i automatycznie wychodzi), różniczkuj \(\displaystyle{ x ^{2}}\); następnie całkuj \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2}x }}\) (znana pochodna), różniczkuj \(\displaystyle{ x}\)