Całka nieoznaczona.

[xsenon]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych całek.

a) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e^{3x}}{e^{2x} +1} dx}\)

Podstawiłem za \(\displaystyle{ e^x=t}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t^3}{t^2+1}}\) nie wiem co dalej...

b) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx}\)

[yorgin]

a) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{e^{3x}}{e^{2x} +1} dx}\)

Podstawiłem za \(\displaystyle{ e^x=t}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t^3}{t^2+1}}\) nie wiem co dalej...

Źle podstawiasz. Masz \(\displaystyle{ \dd t=e^x \dd x}\), więc \(\displaystyle{ e^{3x}\dd x=t^2\dd t}\).

b) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} dx}\)

\(\displaystyle{ x^2\arctan x=(x^2+1)\arctan x-\arctan x}\).

[xsenon]

W pkt. a po podstawieniu wyszło mi \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t^2}{t^2+1} dt}\) Nie wiem jak dalej zrobić...
W pkt. b Twoja podpowiedź mi nic nie dała, dopiero zaczynam, Czy ktoś może zrobić w całości te całki, abym mógł to przeanalizować kro po kroku? Z góry dziękuję.

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \frac{t^2}{t^2+1}= \frac{\left( t^2+1\right) -1}{t^2+1}}\) .

[yorgin]

W pkt. b Twoja podpowiedź mi nic nie dała

Podstaw to do całki i podziel na sumę dwóch całek zgodnie ze znakiem minusa.

W pkt. a po podstawieniu wyszło mi \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t^2}{t^2+1} dt}\) Nie wiem jak dalej zrobić...

Dodaj i odejmij jedynkę i postępuj dalej zgodnie ze wskazówką do b) - podziel na dwie całki.

[xsenon]

Dziękuję Wam za pomoc. Wszystko wyszło tak jak powinno.

Ale mam jeszcze taką całkę i nie wiem jak ją ugryźć. Na zastosowałem metodę przez części a następnie podstawienie \(\displaystyle{ \arcsin x = t}\) ale coś mi nie wychodzi...

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x^2} }dx}\)

[Ambrose]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x^2} }dx}\)
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{\arcsin \left( x\right) }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
funkcją \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) będzie \(\displaystyle{ x}\), natomiast \(\displaystyle{ g'\left( x\right)}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{\arcsin \left( x\right) }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
rozwiązanie przez podstawienie, gdzie \(\displaystyle{ \arcsin \left( x\right) =t}\)
zatem \(\displaystyle{ g\left( x\right)}\) będzie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot arc \sin ^{2} \left( x\right)}\)

W efekcie otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{1}{2} \cdot arc \sin ^{2} \left( x\right) - \frac{1}{2} \cdot \int_{}^{} arc \sin ^{2} \left( x\right)dx}\)
Rozwiązanie całki \(\displaystyle{ \int_{}^{} arc \sin ^{2} \left( x\right)dx}\) jest choćby tutaj:
46045.htm

[yorgin]

Alternatywnie:

\(\displaystyle{ f=\arcsin x\qquad g'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)

[xsenon]

A jakimi metodami rozwiązać te całki ?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{arc \sin x}{x^2} dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2 * arc\sin x dx}\)

[yorgin]

Na dobry początek całkując przez części

\(\displaystyle{ f=\arcsin x\qquad g'=\frac{1}{x^2}}\)

[xsenon]

Na dobry początek całkując przez części

\(\displaystyle{ f=\arcsin x\qquad g'=\frac{1}{x^2}}\)

Zrobiłem tak i powstała mi następna taka całka:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \sqrt{1-x^2} } dx}\)

Czy ktoś mógłby mi pomóc z tą całką?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x \sqrt{1-x^2} }=\frac{x}{x^2 \sqrt{1-x^2} }}\)

Podstaw \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^2}}\) .

[xsenon]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x \sqrt{1-x^2} }=\frac{x}{x^2 \sqrt{1-x^2} }}\)

Podstaw \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^2}}\) .

Otrzymałem \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{t^2-1}dt}\)

Czy dalej coś się z tym zrobić?

[Ambrose]

\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2-1}= \frac{A}{\left( t+1\right) } + \frac{B}{\left( t-1\right) }}\)
\(\displaystyle{ 1=A \cdot t-A+B \cdot t+B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=- \frac{1}{2} \\ B= \frac{1}{2} \end{cases}}\)

[xsenon]

Wszystko wyszło tak jak powinno.

A ktoś ma pomysł na taką całkę?

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^3}{ \sqrt{1-x^2} } dx}\)