Matematyka.pl

Nierówność do udowodnienia i nietrywialna plani. Reszta jakaś banalna.

TPB wątpię, by znalazło się zadanie tekstowe, które miałoby dotyczyć ułożenia równania. Prędzej zadanie tekstowe będzie dotyczyć prawdopodobieństwa.

Ja stawiam że w pierwszym będzie coś typu: która z liczb jest większa.

Życzę powodzenia wszystkim, którzy piszą w tym roku maturę.

Marcinek665, nietrywialna plani? to matura a nie olimpiada

Jak rozwiązać nierówność którą podał norwimaj?

Qnip, z AM-GM dla ciągu liczb \(\displaystyle{ \langle a,b,b,b \rangle}\).

ode mnie fajna kombi:
Znajdź liczbę ciągów \(\displaystyle{ \langle A_1,...,A_k \rangle}\) takich, że \(\displaystyle{ A_i \subseteq \left\{ 1,...,n\right\}}\) dla \(\displaystyle{ 1\le i\le k}\) oraz \(\displaystyle{ \left| A_1 \cap ... \cap A_k\right|=r}\).

Możesz jaśniej powiedzieć? Najlepiej jakby ktoś rozpisał to

Zadania chyba trochę odbiegają od poziomu matury rozszerzonej

adambak, da się to zadanie rozwiązać bardziej 'maturalnym' sposobem?

Da.

\(\displaystyle{ (a+3b)^4\ge256ab^3}\)
Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) mamy równość. Po wyciągnięciu znów to samo zauważamy i możemy doprowadzić do postaci: \(\displaystyle{ \left( a-b\right)^2\left( \frac{a^2}{81}+ \frac{14ab}{81}+b^2 \right) \ge 0}\). Co jest oczywiste. No, ale AM-GM to się samo nasuwa

To co napisał kamil13151, jest naturalnie maturalne. Gdyby ktoś nie widział od razu że można wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\), to można podzielić przez \(\displaystyle{ b^4}\) i otrzymać wielomian zmiennej \(\displaystyle{ \frac ab}\). Wtedy można dalej zgadywać pierwiastki wymierne.

Ze średniej arytmetycznej i geometrycznej jest chyba najprościej, ale zachęcam także do wymyślenia rozwiązania za pomocą nierówności Bernoulliego. Sposób dłuższy, ale całkiem elegancki.

Niestety nadal nie rozumiem. Skąd wiecie żeby wyłączyć akurat\(\displaystyle{ (a-b)}\)? Ponadto czy mówiąc o AM-GM macie na myśli ? Wątpię by takiego typu zadanie pojawiło się na maturze, zapomnieliście jaki to jest poziom

Qnip,

1. napisałem wyżej, jakie jest standardowe (maturalne) podejście gdy nie wiadomo co można wyłączyć,
2. nie trzeba znać ogólnej nierówności o średnich, bo wystarczy \(\displaystyle{ x+y\ge2\sqrt{xy}}\), czyli jednak poziom liceum (chyba nawet podstawowy).

Pytam bardziej z ciekawości skąd wiecie żeby akurat wyłączyć \(\displaystyle{ (a-b)}\)

To może jaśniej, mamy wielomian dwóch zmiennych \(\displaystyle{ W(a,b)=(a+3b)^4-256ab^3}\). Zauważamy, że dla \(\displaystyle{ a=b}\) mamy \(\displaystyle{ W(a,b)=0}\).