Matematyka.pl

Jeśli mamy zbadać zbieżność lub rozbieżność całki niewłaściwej to warto pamiętać o kryterium porównawczym rozbieżności.
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{2 +x^2}dx \leq \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 + x}{2 +x^2}dx.}\)

janusz47, zwróć uwagę na to, że pod całką nie masz wyrażenia dodatniego.

mikaaa_91 pisze: wychodzi mi ze nieskonczonosc minus nieskończoność...

Mnie też tak wychodzi, ale żeby to stwierdzić, nie trzeba liczyć funkcji pierwotnej. Całka
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty}\frac{2+x}{2+x^2} \mathrm{d}x}\)
jest równa \(\displaystyle{ +\infty}\), bo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2+x}{2+x^2}}\) zachowuje się w nieskończoności jak \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\), tzn.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2+x}{2+x^2}}{\frac{1}{x}}=1}\).

Podobnie całka
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^0\frac{2+x}{2+x^2} \mathrm{d}x}\)
jest równa \(\displaystyle{ -\infty}\).

A co dalej, to już napisali rodzyn7773 i Chromosom:
Symbol \(\displaystyle{ \infty+(-\infty)}\) jest nieokreślony, więc wartość całki
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2+x}{2+x^2} \mathrm{d}x}\)
jest nieokreślona.

mikaaa_91 pisze:i jesli mamy \(\displaystyle{ x^{2}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }}\) to po podstawieniu z minus nieskoncznosci robi nam sie plus nieskonczonosc? bo juz sie pogubilam w tych wczesniejszych postach, a wole mieć pewność, żeby błędów nie powielać

Zależy od dokładnej postaci granicy. Raczej nie wprowadzaj takiej klasyfikacji, tylko postępuj tak jak norwimaj, powyżej opisał, lub też korzystaj z definicji - wtedy nie popełnisz błędu.

bardzo dziękuję za pomoc