zbieznosc calki niewlasciwej

[mikaaa_91]

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ \infty } \frac{2+x}{2+ x^{2} } \mbox{d}x}\)

Bardzo prosiłabym o pomoc, mam braki w podstawach i nie wiem co dalej po obliczeniu całki, wychodzi mi ze nieskonczonosc minus nieskończoność... wydaje mi się, że źle to robię.
Prosiłabym kogoś o wytłumaczenie od początku co dalej po podstawieniu nieskonczonosci i -nieskonczonosci, tak krok po kroku..

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \arc\tg \frac{x}{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|}\)

np. podstawiając nieskończoność z wyrazenia z arcusem wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), dobrze na to patrzę?

[miodzio1988]

Tja. tego pierwiastka żebyś nie zapomniała.

Wskazówka :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|= \lim_{x \to - \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|}\)

[rodzyn7773]

Całki typu \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }}\) należy podzielić i osobno zbadać zbieżność takich całek:
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } = \int_{- \infty }^{a} + \int_{a}^{ \infty } \ \ a \in R}\)
Aby zbieżna była całka "wyjściowa" zbieżne muszą być te dwie całki po prawej stronie równości.

[miodzio1988]

rodzyn7773, a niby po co? Można i bez tego zrobić

[mikaaa_91]

Tja. tego pierwiastka żebyś nie zapomniała.

Wskazówka :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|= \lim_{x \to - \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|}\)

hmm czyli w takim razie jest coś takiego, że jeżeli mamy \(\displaystyle{ x^{2}}\) to kiedy podstawiamy \(\displaystyle{ -\infty}\) to przez ten kwadrat przy x, z minus nieskonczonosci robi się plus nieskończoność?
myślałam w tym przypadku, że ln w minus nieskończoności do zera dąży.. ale w takim razie obie granice równe są \(\displaystyle{ +\infty}\)?

[miodzio1988]

Tak. Te granice się skrócą

[mikaaa_91]

skrócą? nie rozumiem..

wychodzi mi cos takiego \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \infty \right) - \left( - \sqrt{2} \cdot\frac{\pi}{2} + \infty \right)}\)

[miodzio1988]

Skrócą. Czy możemy tak zrobić:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|-\lim_{x \to + \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|= \lim_{x \to + \infty } \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|- \frac{1}{2}\ln\left| 2+x^{2}\right|}\)

?

Jeśli tak to zadanie masz z głowy. Napisz dlaczego tak. Jeśli nie to wskazówka rodzyn7773-a się przyda

[mikaaa_91]

rozumiem to co napisałeś, tylko, że w tym momencie już nie widzę, żeby ta całka była rozbieżna..

[miodzio1988]

Oczywiście, że nie można. Spróbuj zrobić to tak jak mówił kolega rodzyn7773, bo mój pomysł okazał się do bani

[mikaaa_91]

czy w tym konkretnym przypadku mogę za a podstawić dowolną liczbę?

[miodzio1988]

Pewnie.

[mikaaa_91]

i jesli mamy \(\displaystyle{ x^{2}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }}\) to po podstawieniu z minus nieskoncznosci robi nam sie plus nieskonczonosc? bo juz sie pogubilam w tych wczesniejszych postach, a wole mieć pewność, żeby błędów nie powielać

[Chromosom]

mikaaa_91, skorzystaj z definicji całki niewłaściwej i zbadaj istnienie odpowiedniej granicy. Pamiętaj o tym że zbieżność całki jest związana z jej wartością, nie wartością główną.

[mikaaa_91]

ja to rozumiem tylko, że chciałabym żeby ktoś odpowiedział na to pytanie wyżej dotyczące granicy i tego podnoszenia do kwadratu